Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 37:
Enunciado:
Uma corda uniforme com 25 cm de comprimento e 15 g de massa está presa horizontalmente em um teto. Mais tarde, é pendurada verticalmente, com apenas uma das extremidades presa no teto. Qual é a variação da energia potencial da corda devido a essa… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Nesse exercício, devemos calcular a diferença de energia potencial da corda devido a mudança de posição dela. Veja que a força que atua na corda é a força peso, ou seja, estamos lidando com uma energia potencial gravitacional. Como queremos a variação da energia potencial entre dois estados, podemos tirar vantagem de que podemos definir o zero de potencial sem perder nenhuma informação da variação dela.
Com isso, vamos considerar o zero da energia potencial quando a corda está presa na horizontal, com isso, a variação da energia potencial será o cálculo da energia potencial da corda na vertical.
$$
\Delta U = U_{vertical}
\tag{1}$$
Seguindo a dica dada no exercício, vamos calcular um infinitesimal de energia potencial em função de um infinitesimal de corda e depois integrar em toda a corda. Lembre que como estamos falando de energia potencial gravitacional, nosso infinitesimal de energia potencial deve ser da forma:
$$
\Delta U \propto (massa)(gravidade)(altura)
\tag{2}$$
Vamos ao fator de massa: como estamos lidando com um infinitesimal de corda (dx), precisamos da massa correspondente a esse infinitesimal. Para isso, podemos pensar em densidade da corda para relacionarmos dx com a massa. A densidade da corda será:
$$
\lambda = \frac{m}{h} \Longrightarrow m = \lambda h
\tag{3}$$
Então, a massa de um dx será:
$$
dm = \lambda dx
\tag{4}$$
O termo de gravidade é apenas a aceleração da gravidade g e o termo de altura será uma altura x do infinitesimal dx, de modo que a soma de todos os dx da corda resulta na altura total da corda $h$. Voltando a Equação (2):
$$
dU = -(\lambda dx)gx
\tag{5}$$
O sinal de negativo é colocado para levar em conta que a energia potencial da corda vai diminuir quando comparado com a que ela tem na horizontal no teto. Isso ocorre porque a energia potencial depende da altura e todos os pontos da corda exceto o que está preço no teto tem altura menor do que quando a conda está toda paralela ao teto.
Agora que temos a expressão pra um infinitesimal de energia potencial, basta integrar:
$$
\Delta U = \int dU = -\int_0^h \lambda gxdx = -\frac{\lambda gh^2}{2} = – \frac{mgh}{2}
\tag{6}$$
Na última igualdade substituímos $\lambda$ pela Equação (3). Substituindo os valores:
$$
\boxed{\Delta U = -\frac{(0,015\;kg)(9,8\;m/s^2)(0,25\;m)}{2} = -0,018\;J}
\tag{7}$$
Observação: Esse exercício pode ser rapidamente resolvido calculando a energia potencial gravitacional do centro de massa da corda. Perceba que o centro de massa da corda é no ponto médio dela, ou seja, vai do teto no primeiro momento para (h/2). Calculando U = mgh nesse caso, chegamos na mesma expressão da Equação (6). Mas esse exercício é importante para compreender como se monta uma equação a partir da integração de um infinitesimal.
