Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 62:
Enunciado:
Na Fig. 8-55, um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um trecho de comprimento $L = 0,75 \;m$, que começa a uma altura $h = 2,0 \; m$ em uma rampa de ângulo $\theta = 30^{\circ}$. Nesse trecho, o coeficiente de atrito cinético é 0,40. O bloco passa pelo ponto A com uma velocidade de 8,0 m/s. Se o bloco pode… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pergunta a velocidade no ponto B se o bloco chegar nesse ponto. Caso não chegue, ele pergunta qual a maior altura que o bloco atinge acima de do ponto A (veja a Figura 8-55 do livro).
Primeiramente, vamos calcular a velocidade do bloco no momento em que ele encontra o trecho com atrito (vamos chamar esse ponto de ponto C. Uma vez que de A a C não há atrito, a velocidade vai diminuir apenas devido a perda de energia cinética para energia potencial gravitacional devido ao aumento de altura do bloco. Podemos calcular a velocidade em C ($v_C$) através da equação de Toricelli:
$$
v_C = \sqrt{v_A^2 -2gh} = \sqrt{(8\;m/s)^2-2(9,8m/s^2)(2\;m)} = 5\;m/s
\tag{1}$$
Assim, podemos pensar o restante do exercício como sendo o trecho de C a B. Agora, vamos deduzir se o bloco chega no ponto B ou não. Digamos que ele não chegue ao ponto B. Isso quer dizer que toda a energia cinética do bloco será transformada em energia potencial gravitacional e perdida devido ao trabalho realizado pela força de atrito.
Vamos supor então que o bloco percorra uma distância $d$ com $d \lt L$, de modo que a altura do bloco a partir do ponto C (no início do trecho com atrito) até a distância $d$ é dada por $h_d = dsen\theta$.
Escrevendo então o balanço de energia comentado acima, temos:
$$
K_C = mgh_d + f_kd
\tag{2}$$
Fazendo que $K_C = mv_C^2/2$ e que $f_k = \mu N = \mu_k mgcos\theta$, ficamos com:
$$
\frac{mv_C^2}{2}=mgdsen\theta+\mu_kmgdcos\theta
\tag{3}$$
Cortando os termos de massa e isolando $d$, temos:
$$
d = \frac{v_C^2}{2g(sen\theta+\mu_kcos\theta)} = \frac{(5\;m/s)^2}{2(9,8\;m/s^2)(sen30^\circ+0,4\;cos30^\circ)} = 1,49\;m
\tag{4}$$
Perceba que assumindo que $d \lt L$, chegamos em um valor de $d \gt L$ pois $1,49 \gt 0,75$. Ou seja, nossa suposição está errada e o bloco passa do trecho com atrito. Então, devemos responder qual a velocidade no ponto B já que o bloco passa desse ponto.
Então, agora podemos fazer uma nova equação de balanco de energias. Como ele passa pelo ponto B, nesse ponto o bloco terá uma energia cinética. Esse energia cinética será a energia cinética que ele tinha no ponto C menos a energia potencial gravitacional devido a subida da rampa de uma distância L (perceba que do ponto C ao ponto B, a distância é L) e ainda, devemos subtrair o trabalho feito pela força de atrito nesse trecho:
$$
\frac{mv_B^2}{2} = \frac{mv_C^2}{2} – (mgLsen\theta+\mu_kmgLcos\theta)
\tag{5}$$
Isolando a velocidade em B:
$$
v_B = \sqrt{v_C^2-2gL(sen\theta+\mu_kcos\theta)} = \sqrt{(5\;m/s)^2-2(9,8\;m/s^2)(0,75\;m)(sen30^\circ+0,4cos30^\circ)}
\tag{6}$$
O que nos dá o resultado final:
$$
\boxed{v_B = 3,5\;m/s}
\tag{7}$$
