Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Capítulo 12: Equilíbrio e elasticidade
Exercício 40
Enunciado:
A Fig. 12-54a mostra uma viga horizontal homogênea, de massa mb e comprimento L, que é sustentada à esquerda por uma dobradiça presa a uma parede e à direita por um cabo que faz um ângulo θ com a horizontal. Um pacote, de massa… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Viga horizontal homogênea com massa $m_b$ e comprimento $L$ é sustentada por uma dobradiça presa a parede e um cabo;
- O cabo faz um ângulo $\theta$ com a horizontal;
- Um pacote de massa $m_p$ é colocado em cima da viga a uma distância $x$ da dobradiça;
- $m_b+m_p = 61,22\;kg$.
Item (a):
A Figura 12-54(a) exemplifica a situação do problema. A Figura 12-54(b) mostra o gráfico da tensão $T$ do cabo em função da distância normalizada $x/L$ do pacote na viga. O exercício ainda diz que as tensões das extremidades do gráfico são $T_a=500\;N$ e $T_b = 700\;N$.
Nesse item, o exercício nos pede para calcular $\theta$. Primeiramente, sabendo que o sistema fica em equilíbrio, podemos dizer que a soma do torque na dobradiça deve ser nula. O torque será devido a tração do cabo, ao peso do centro de massa da barra e ao peso do pacote, ou seja:
$$
TLsen\theta – m_pgx – m_bg(L/2) = 0 \tag{1}
$$
No qual definimos torque negativo na direção entrando na tela, ou seja, os torques que fazem a barra girar para baixo e lembrando sempre que o torque está relacionado com a componente da força perpendicular a direção de $\vec{r}$ e a força peso tanto do pacote quanto da barra já são perpendicular.
Dividindo a expressão por $Lsen\theta$ e isolando $T$, ficamos com:
$$
T = \frac{m_pg}{sen\theta}\frac{x}{L} + \frac{m_bg}{2sen\theta}\tag{2}
$$
Perceba que isso é uma reta de $T$ em função de $x/L$, exatamente a mesma reta dada pela Figura 12-54(b), a qual podemos escrever como:
$$
T = a\frac{x}{L} + b \tag{3}
$$
Onde $a$ é a inclinação e $b$ é o ponto de interseção com o eixo $y$. A partir do gráfico dado pelo exercício, temos que:
$$
a = \frac{T_b-T_a}{1-0} = 700\;N – 500\;N = 200\;N \tag{4}
$$
$$
b = T_a = 500\;N \tag{5}
$$
Portanto, fazendo o paralelo entre as Equações (2) e (3), podemos escrever que:
$$
a+2b = \frac{m_pg}{sen\theta} + \frac{m_bg}{sen\theta} = \frac{g}{sen\theta}(m_p+m_b) \tag{6}
$$
Fizemos essa combinação da soma de $a$ com $2b$ justamente porque só temos informação sobre a soma das massas do pacote e da barra. Também temos os valores numéricos de $a$ e $b$, então, a Equação (6) fica:
$$
200\;N+2(500\;N) = \frac{g(61,22\;kg)}{sen\theta} \tag{7}
$$
Isolando $sen\theta$:
$$
sen\theta = \frac{(9,8\;m/s^2)(61,22\;kg)}{1200\;N} = 0,5 \tag{8}
$$
O que nos resulta na resposta do item (a):
$$
\boxed{\theta = 30^{\circ}} \tag{9}
$$
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pede para calcular a massa da viga $m_b$. Para isso, basta usar a equação do ponto de interseção em $y$, dada por:
$$
b = \frac{m_bg}{2sen\theta} \Longrightarrow m_b=\frac{2bsen\theta}{g} \tag{10}
$$
O que resulta:
$$
\boxed{m_b=\frac{2(500\;N)(sen30^{\circ})}{9,8\;m/s^2}=51\;kg} \tag{11}
$$
Item (c):
Agora, queremos calcular $m_p$. Para isso, vamos usar a equação para a inclinação da reta:
$$
a= \frac{m_pg}{sen\theta} \Longrightarrow m_p=\frac{asen\theta}{g} \tag{12}
$$
O que resulta:
$$
\boxed{m_p = \frac{(200\;N)sen30^{\circ}}{9,8\;m/s^2}=10,2\;kg} \tag{13}
$$
