Exercício 41, Capítulo 12, Fundamentos de Física Vol. 2: caixote

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 2

Capítulo 12: Equilíbrio e elasticidade

Exercício 41

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Caixote cúbico de lado $l=1,2\;m$ contém uma peça de máquina;
• Centro de massa está a $0,3\;m$ acima do centro geométrico do caixote;
• Caixote repousa em uma rampa de ângulo $\theta$ com a horizontal;
• $\theta$ aumenta a partir de 0 até que o caixote tomba ou desliza pela rampa;
• Atrito estático entre rampa e caixote é $\mu_s=0,6$.

Item (a):

O exercício nos pergunta se o caixote tomba ou desliza. Primeiramente, vamos fazer o diagrama de forças do exercício, como mostrado na Figura 1. Teremos a força peso $P$, que está um pouco acima do centro geométrico do caixote, a força de atrito $f$ atuando entre as superfícies e a força normal $F_N$, que foi colocada na extremidade direita do caixote porque como ele está na iminência de deslizar ou tombar, podemos pensar que a resposta da força peso está concentrada na no eixo de giro caso ele tombe.

Figura 1: Diagrama de forças do exercício.

Como ele está na iminência de cair, ainda podemos aplicar as condições de equilíbrio no sistema tanto na direção $x$ quanto na $y$:

$$
Psen\theta-f=0 \tag{1}
$$

$$
F_N-Pcos\theta=0 \tag{2}
$$

Também podemos escrever a força de atrito como sendo:

$$
f = \mu_s F_N = \mu_sPcos\theta \tag{3}
$$

No qual usamos o resultado da Equação (2) na segunda igualdade. Agora, substituímos a Equação (3) na Equação (1), o que nos dá:

$$
Psen\theta – \mu_sPcos\theta = 0 \tag{4}
$$

O que nos dá:

$$
\mu_s = tan\theta = 0,6 \tag{5}
$$

Isso nos dá um ângulo $\theta$ de:

$$
\theta = tan^{-1}0,6 = 31^{\circ} \tag{6}
$$

Ou seja, a partir desse ângulo, o caixote começa a deslizar. Agora, temos que calcular que ângulo o caixote começa a tombar para ver qual acontecerá primeiro, dependendo que ângulo é o menor entre os dois casos. Para isso, vamos encontrar a condição de equilíbrio para os torques. O torque associado à força de atrito será $f(l-0,3\;m)$, ou seja, a altura entre o ponto de aplicação da força de atrito e o centro de massa do caixote. O torque associado à força normal é $F_Nl/2$, uma vez que na iminência de tombar, a força normal está na aresta inferior e, portanto, $r=l/2$. Como estamos ainda em equilíbrio, a soma deles resulta zero:

$$
f(l-0,3\;m) – F_Nl/2 =0 \tag{7}
$$

No qual assumimos o giro anti-horário como sendo positivo. Usando os resultados das Equações (1) e (2):

$$
(Psen\theta)(l-0,3\;m) = Pcos\theta (l/2) \tag{8}
$$

O que nos dá:

$$
\theta = tan^{-1}\frac{l}{2(l-0,3\;m)} = tan^{-1}\frac{1,2\;m}{2(1,2\;m-0,3\;m)} = 33,7^{\circ} \tag{9}
$$

Ou seja, como o ângulo para deslizar ($31^{\circ}$) é menor que para tombar ($33,7^{\circ}$), o caixote vai deslizar ao invés de tombar.

Item (b):

O exercício nos pergunta para que ângulo isso acontece. Como já calculamos no item (a), o ângulo em que isso acontece é de:

$$
\boxed{\theta=31^{\circ}} \tag{10}
$$

Item (c):

Agora, o exercício pergunta se o caixote tomba ou desliza se o coeficiente de atrito mudasse para $\mu_s=0,7$. Podemos ver no item (a) que apenas o ângulo de deslizar muda com $\mu_s$. O novo ângulo de deslizar muda para:

$$
\theta = tan^{-1}\mu_s =tan^{-1}0,7 = 35^{\circ} \tag{11}
$$

Portanto, agora o ângulo de tombar é menor, de modo que para esse novo valor de coeficiente de atrito, o caixote tomba ao invés de deslizar. O contrário do item (a).

Item (d):

Novamente, o exercício nos pede o ângulo em que isso acontece. Como agora o caixote tomba, isso irá ocorrer para o ângulo:

$$
\boxed{\theta = 33,7^{\circ}} \tag{12}
$$

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