Exercício 39, Capítulo 12, Fundamentos de Física Vol. 2: escada

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Capítulo 12: Equilíbrio e elasticidade

Exercício 39

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• $L=AC=CE=2,44\;m$ é o comprimento da escada unidos no ponto C;
• Barra horizontal $BD=0,762\;m$ está na metade da altura da escada;
• Homem pesa $P=854\;N$ sobe $h=1,8\;m$ acima da escada;
• Podemos desprezar atrito e a massa da escada.

Item (a):

Devemos determinar a tensão da barra em BD. A Figura 12-53 do livro exemplifica o problema. Como sugestão, o exercício nos pede para isolar partes da escada ao aplicar condições de equilíbrio. Para isso, vamos fazer o diagrama de forças da escada toda e aplicar condições de equilíbrio nela, mostrado na Figura 1 abaixo.

Figura 1: Diagrama de forças do exercício.

No diagrama, $F_A$ e $F_E$ são as forças que o piso exerce sobre os pés da escada. Elas são normais ao piso pois não consideramos atrito, que resultaria numa componente na horizontal. $T$ é a tração da barra que queremos calcular. $P$ é o peso do homem, que está do lado esquerdo da escada. $F_v$ e $F_h$ são as componentes vertical e horizontal que cada lado da escada aplica sobre o outro lado devido dobradiça do ponto C.

Como a escada está em equilíbrio, podemos dizer que a soma das forças, tanto horizontal quanto vertical do lado esquerdo da escada estão em equilíbro:

$$
F_v + F_A – P = 0 \tag{1}
$$

$$
T-F_h = 0 \tag{2}
$$

Também podemos aplicar a condição de equilíbrio para o torque do ponto C da escada, que deve ser nulo. Teremos o torque devido as forças $F_A$, $P$ e $T$. As forças $F_h$ e $F_v$ não produzem torque porque são aplicada exatamente no ponto C, resultando:

$$
F_ALcos\theta – P(L-h)cos\theta – T(L/2)sen\theta = 0 \tag{3}
$$

No qual o sinal positivo é para torque com direção entrando na tela. Os termos cosseno ou seno vem do fato de que o torque é dado pela componente da força perpendicular ao comprimento da escada. Também usamos o fato de que a barra BD está no meio da escada.

Podemos fazer a mesma coisa para o lado direito da escada, o que nos dará mais 3 equações, mas uma delas é idêntica a Equação (2). As outras duas equações são:

$$
F_E-F_v = 0 \tag{4}
$$
$$
F_ELcos\theta – T(L/2)sen\theta = 0 \tag{5}
$$

Perceba que do lado direito, não tem termos do peso do homem pois ele está do outro lado. As Equações de (1) a (5) formam um sistema de 5 equações e 5 incógnitas ($F_A$, $F_E$, $F_v$, $F_h$ e $T$). Portanto, podemos trabalhar nelas até termos $T$ em função de grandezas conhecidas.

A quarta equação nos dá $F_v=F_E$, o que resulta a primeira equação ficar $F_A=P-F_E$. Substituindo esses resultados nas outras 3 equações, ficamos com:

$$
T-F_h=0\tag{6}
$$
$$
PLcos\theta – F_ELcos\theta – P(L-h)cos\theta-T(L/2)sen\theta=0 \tag{7}
$$
$$
F_ELcos\theta – T(L/2)sen\theta =0 \tag{8}
$$

A Equação (8) nos dá:

$$
F_E = \frac{T}{2}\frac{sen\theta}{cos\theta} \tag{9}
$$

Substituindo na Equação (7):

$$
PLcos\theta – (TL/2)sen\theta – P(L-h)cos\theta – (TL/2)sen\theta = 0 \tag{10}
$$

Rearranjando:
$$TLsen\theta = cos\theta(PL-P(L-h)) \tag{11}
$$
$$
TL = \frac{cos\theta}{sen\theta}Ph \tag{12}
$$
Ou seja:

$$
T = \frac{Ph}{Ltan\theta} \tag{13}
$$

A tangente de $\theta$ pode ser obtida através do triângulo retângulo formado pela metade superior da escada (L/2), pela metade da barra (BD/2) e o cateto vertical que liga o ponto C com a metade da barra. Por Pitágoras, o comprimento desse cateto ($L_c$) é:

$$
L_c =\sqrt{(L/2)^2-(BD/2)^2} = \sqrt{(1,22\;m)^2-(0,381)^2} = 1,16\;m \tag{14}
$$

Portanto:

$$
tan\theta = \frac{1,16\;m}{0,381\,m} = 3,04 \tag{15}
$$

Finalmente, podemos calcular a tração através da Equação (13):

$$
\boxed{T = \frac{(854\;N)(1,8\;m)}{(2,44\;m)(3,04)} = 207\;N} \tag{16}
$$

Item (b):

Nesse item, queremos calcular o módulo da força que o chão exerce sobre a escada do ponto A. Ou seja, como difinimos, temos que calcular o módulo de $F_A$. Usando que $F_v=F_E$ e a Equação (9) e a (13), temos:

$$
F_v = F_E = \frac{Ttan\theta}{2} = \frac{Ph}{2L} \tag{17}
$$

Usando na Equação (1):

$$
F_A = P-F_v = P – \frac{Ph}{2L} \tag{18}
$$

Com isso, temos:

$$
\boxed{F_A = 854\;N – \frac{854\;N(1,8\;m)}{2(2,44\;m)}=539\;N} \tag{19}
$$

Item (c):

Agora, vamos calcular o módulo de $F_E$. Da Equação (17), sabemos que:

$$
\boxed{F_E = \frac{Ph}{2L}=\frac{(854\;N)(1,8\;m)}{2(2,44\;m)}=315\;N} \tag{20}
$$