Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 3:
Enunciado:
O manômetro de tubo inclinado (Figura P.3), utilizado para medir pequenas diferenças de pressão, $p_1 – p_2,$ difere do descrito no problema 1.2 pela inclinação $\theta$ do tubo d diâmetro $d$. Se o fluido empregado é óleo de densidade.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Vamos dizer que no ramo esquerdo, a altura do líquido é $H$, medida a partir de $N_0$, assim como no problema 2. Dessa forma, podemos calcular a pressão nesse estado de equilíbrio. No lado esquerdo, a pressão é simplesmente igual a $p_1$. No lado direito, ela é igual a $p_2$ mais a pressão gerada pela coluna de líquido. A altura dessa coluna, que chamaremos de $h_{col}$ é dada por
$$
h_{col} = l \sin{\theta} + H
\tag{1}$$
Sendo assim, nós podemos escrever a expressão que iguala as pressões em ambos os ramos:
$$
p_1 = p_2 + \rho g (l \sin{\theta} + H)
\tag{2}$$
Onde $\rho$ é a densidade do líquido.
A variação de volume do lado esquerdo corresponde à uma variação do lado direito. Sabendo que os dois ramos são cilíndricos, podemos escrever a expressão
$$
\frac{\pi}{4} D^2 H = \frac{\pi}{4}d^2 l \sin{\theta}
\tag{3}$$
que resulta em:
$$
H = \frac{d^2}{D^2} l \sin{\theta}
\tag{4}$$
Utilizando esse resultado na equação 2, nós podemos então escrever:
$$
p_1 – p_2 = \rho g l \sin{\theta}(1 + \frac{d^2}{D^2})
\tag{5}$$
Através dessa expressão nós podemos então obter a expressão para $\theta$:
$$
\sin{\theta} = \frac{p_1 – p_2}{\rho g l (1 + d^2/D^2)}
\tag{6}$$
Portanto:
$$
\theta = \arcsin{(\frac{p_1 – p_2}{\rho g l (1 + d^2/D^2)})}
\tag{7}$$
Utilizando as unidades do Sistema Internacional na expressão acima:
$$
\theta = \arcsin{(\frac{0.001 \times 10^5} {800 \cdot 9.8 \cdot 0.05 (1 + (0.005)^2/(0.025)^2)})}
\tag{8}$$
O que nos dá o resultado:
$$
\boxed{\theta \approx 0.25 \; rad \approx 14.4^{\circ}}
\tag{9}$$
