Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 36:
Enunciado:
Duas meninas estão disputando um jogo no qual tentam acertar uma pequena caixa, no chão, com uma bola de gude lançada por um canhão de mola montado em uma mesa. A caixa está a uma distância horizontal $D = 2,20 \;m$ da borda da mesa; veja a Fig. 8-48. Lia comprime a mola 1,10 cm, mas o centro da bola de gude cai 27,0 cm antes do centro da caixa…. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Queremos saber de quanto Rosa deve comprimir a mola para acertar a caixa. O esquema de como o jogo funciona está mostrado na Figura 8-48 do livro. Veja que para os dois lançamentos, podemos escrever as equações horárias de movimento em x e em y. Vamos definir que $h$ é a altura da mesa. Na componente x, não temos componente da gravidade, então a velocidade é constante:
$$
x = v_0t
\tag{1}$$
Na vertical, a gravidade acelera a bola durante a altura da mesa, com velocidade inicial nula nessa direção:
$$
h = \frac{gt^2}{2} \Longrightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
\tag{2}$$
Agora, para cada lançamento teremos um $v_0$ e uma distância $x$ específica. Para o lançamento da Lia, vamos chamar a velocidade inicial de $v_{01}$ e $D_1 = D-0,27\;m = (2,2-0,27)\;m = 1,93\;m$. Para o lançamento da Rosa, teremos $v_0=v_{02}$ e $D_2 = D = 2,2\;m$.
Primeiro, vamos encontrar uma relação entre as velocidades e as distâncias, pois podemos pensar que a velocidade inicial vai estar relacionado com a energia que transferimos da mola para a bola. Ou seja, as velocidades vão estar relacionadas com o comprimento da mola.
Como $v_0$ é proporcional a $x$, vamos fazer:
$$
\frac{x_2}{x_1} = \frac{v_{02}t}{v_{01}t} \Longrightarrow \frac{D_2}{D_1} = \frac{v_{02}\sqrt{2h/g}}{v_{01}\sqrt{2h/g}}
\tag{3}$$
Ou seja, na primeira igualdade utilizamos a Equação (1). Na segunda igualdade usamos o fato de que depois de um tempo $t$ dado pela Equação (2), a distância percorrida é $D_1$ ou $D_2$, dependendo apenas da velocidade.
Simplificando os fatores iguais no numerador e denominador e isolando uma das velocidades, chegamos a:
$$
v_{02} = \frac{D_2}{D_1}\;v_{01}
\tag{4}$$
Veja que as distâncias já são numericamente conhecidas. Precisamos então de uma relação entre as velocidades e as compressões da mola. Para isso, podemos usar a lei de conservação da energia e dizer que energia cinética da bola logo após sair da mola é devido a energia potencial elástica, ou seja, para cada um dos lançamentos, temos:
$$
\frac{mv_{01}^2}{2} = \frac{kl_1^2}{2}
\tag{5}$$
$$
\frac{mv_{02}^2}{2} = \frac{kl_2^2}{2}
\tag{6}$$
Dividindo as duas expressões (simplificando os termos e tirando a raiz quadrada):
$$
\frac{v_{01}}{v_{02}} = \frac{l_1}{l_2} \Longrightarrow v_{02} = \frac{l_2}{l_1}v_{01}
\tag{7}$$
Agora podemos substituir $v_{02}$ na Equação (4), que irá cancelar $v_{01}$ e chegamos em:
$$
l_2 = \frac{D_2}{D_1}l_1
\tag{8}$$
Perceba que $l_2$ é justamente o que nos é pedido: o comprimento da compressão feita por Rosa. Portanto, temos:
$$
\boxed{l_2 = \frac{2,2\;m}{1,93\;m}(1,1\;m) = 1,25\;m}
\tag{9}$$
