Exercício 37, Capítulo 17, Fundamentos de Física Vol. 2: onda sonora

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 17: Ondas-II

Exercício 37:

Enunciado:

Uma fonte produz uma onda sonora senoidal de frequência angular 3000 rad/s e amplitude 12,0 nm em um tubo com ar. O raio interno do tubo é 2,00 cm. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia total (soma das energias cinética e potencial) é transportada para a extremidade oposta do tubo? (b) Se, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em um tubo vizinho igual, qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas para a extremidade oposta dos tubos?… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

O exercício pergunta qual a taxa média com a qual a energia total é transportada para a extremidade oposta do tubo. Como a taxa média da energia cinética transportada é igual a taxa média da energia potencial transportada, a taxa média da energia total transportada será o dobro da taxa média de uma delas:

$$
P_{med} = \left(\frac{dE}{dt}\right) = 2\left(\frac{dK}{dt}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\rho A v \omega^2s_m^2\right)
\tag{1}$$

No qual na última igualdade usamos a Equação 17-33 do livro. Aqui, $\rho$ é a densidade do ar (meio dentro do tubo em que a onda se propaga, dita no enunciado), $v$ é a velocidade do som no ar e $A$ é a seção transversão do tubo. Portanto, $\rho = 1,2\;kg/m^3$, $v = 343\;m/s$, $A=\pi r^2 = \pi(0,02\;m)^2$. Além desses fatores, substituindo os fatores dados diretamente pelo exercício, a Equação (1) resulta em:

$$
\boxed{P_{med} = \frac{1}{2}\left(1,2\;kg/m^3(\pi(0,02\;m)^2)(343\;m/s)(3000\;rad/s)^2(12\times10^{-9}\;m)^2\right) = 0,34nW}
\tag{2}$$

Item (b):

Agora, o exercício diz que, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em um tubo vizinho igual e nos pergunta qual a taxa média com a qual a energia é transportada para a extremidade oposta dos tubos. Como essa segunda onda se propaga em outro tubo, não há efeitos de interferência e, portanto, a taxa será o dobro da taxa do item (a) uma vez que agora temos duas ondas para propagar a energia. Então:

$$
\boxed{P_{med}=0,68nW}
\tag{3}$$

Item (c):

Agora, as duas ondas são produzidas simultaneamente e no mesmo tubo. O exercício nos pergunta qual a taxa média total de energia transportada se a diferença de fase entre as ondas é 0. Nesse caso há interferência, mas como não há diferença de fase entre as ondas, a interferência será totalmente construtiva e, portanto, a amplitude da onda resultante é a soma das duas amplitudes, ou seja, duas vezes maior. Como a amplitude vai ao quadrado na taxa média, ela será 4 vezes maior que a taxa do item (a) ($P_{med}\propto (2s_m)^2=4s_m^2$). Com isso,

$$
\boxed{P_{med} = 4(0,34nW) = 1,4nW}
\tag{4}$$

Item (d):

Agora, o exercício nos faz a mesma pergunta do item anterior, mas com a diferença de fase entre as duas ondas como sendo $0,4\pi$. Para isso podemos utilizar a Equação 16-52 do livro. Essa equação diz qual será a nova amplitude dada a amplitude das ondas originais e a diferença de fase entre elas:

$$
s_m’ = |2s_mcos(\phi/2)| = |2s_mcos(0,4\pi/2)| = 1,62s_m
\tag{5}$$

Ou seja, a taxa média agora será $P_{med}\propto (1,62s_m)^2 = 2,62s_m^2$, assim, usando o resultado do item(a):

$$
\boxed{P_{med}=2,62(0,34nW) = 0,88nW}
\tag{6}$$

Item (e):

O exercício nos pergunta novamente a mesma situação para uma diferença de fase de $\phi=\pi$. Essa diferença de fase faz as ondas se interferirem destrutivamente, o que resulta $s_m=0$ e portanto:

$$
\boxed{P_{med}=0}
\tag{7}$$