Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 17: Ondas-II
Exercício 23:
Enunciado:
A Fig. 17-39 mostra duas fontes pontuais $S_1$ e $S_2$ que emitem sons de comprimento de onda $\lambda = 2,00 \; m$. As emissões são isotrópicas e em fase; a distância entre as fontes é $d = 16,0 \; m$. Em qualquer ponto $P$ do eixo $x$, as ondas produzidas por $S_1$ e $S_2$ interferem. Se $P$ está muito distante ($x \approx \infty$), qual é (a) a diferença de fase entre as ondas produzidas por $S_1$ e $S_2$ e… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos diz para assumir que o ponto $P$ está muito distante ($x\approx\infty$). Na Figura 17-39 do livro é mostrado as fontes e no eixo $y$ e o ponto $P$. Com isso, o exercício pergunta qual é a diferença de fase entre as ondas produzidas por $S_1$ e $S_2$.
Podemos pensar que para uma distância praticamente infinita entre o ponto $P$ e as fontes, a distância $d$ que as separam é irrelevante, e portanto, elas se comportam como se fossem uma única fonte. Com isso, a diferença de fase entre elas é zero.
Item (b):
Agora, nos é perguntado qual o tipo de interferência que essas ondas produzem. Como dizemos no item anterior que elas estão em fase, a interferência entre elas é totalmente construtiva.
Item (c):
Nesse item, devemos supor que o ponto $P$ está sendo deslocado ao longo do eixo $x$ em direção a $S_1$. O exercício nos pergunta se a diferença de fase entre elas aumenta ou diminui. Como foi dito no item (a), a diferença de fase entre as ondas é zero no infinito. Como agora a distância entre as fontes passa a ser significativa, podemos dizer que isso indica que o valor absoluto da diferença de fase $|\Delta \phi|$ deixa de ser zero e, portanto, passa a aumentar.
Item (d):
Agora, o exercício nos pergunta a que distância $x$ da origem as ondas possuem uma diferença de fase de $0,5\lambda$. Para isso, precisamos calcuar a diferença de fase que elas terão em função de $x$. Sabemos que o valor absoluto da diferença de fase das ondas será a diferença de percurso das ondas $\Delta l$ dividido pelo comprimento de onda das ondas:
$$
|\Delta \phi| = \frac{\Delta l}{\lambda}
\tag{1}$$
A diferença de percurso entre as ondas será dado pelo percurso da onda originada na fonte $S_2$, que pode ser escrita através da hipotenusa do Teorema de Pitágoras, e do percurso da onda originada em $S_1$ que é escrita apenas como sendo a distância $x$ já que ela está na origem do eixo de coordenadas:
$$
\Delta l = \sqrt{d^2+x^2} – x
\tag{2}$$
Substituindo na Equação (1):
$$
|\Delta \phi| = \frac{\sqrt{d^2+x^2} – x}{\lambda} \Longrightarrow x+|\Delta \phi|\lambda = \sqrt{d^2+x^2}
\tag{3}$$
Elevando os dois lados da equação ao quadrado:
$$
x^2 + 2x|\Delta\phi|\lambda + |\Delta\phi|^2\lambda^2= d^2+x^2
\tag{4}$$
Simplificando e isolando $x$, temos:
$$
x = \frac{d^2}{2|\Delta\phi|\lambda} – \frac{1}{2}|\Delta\phi|\lambda = \frac{(16\;m)^2}{2|\Delta\phi|(2\;m)} – \frac{1}{2}|\Delta\phi|(2\;m) = \frac{64}{|\Delta\phi|} – |\Delta\phi|
\tag{5}$$
No qual na última igualdade usamos que $d=16\;m$ e $\lambda=2\;m$. Nesse item, queremos calcular $x$ tal que a fase seja $|\Delta\phi|=0,5$. Basta, portanto, substituir:
$$
\boxed{x = \frac{64}{|\Delta\phi|} – |\Delta\phi| = \left(\frac{64}{0,5} – 0,5\right)\;m = 128\;m}
\tag{6}$$
Item (e):
Agora, devemos fazer a mesma coisa do item anterior mas agora para $|\Delta\phi|= 1$, basta então usar esse novo valor na Equação (5):
$$
\boxed{x = \frac{64}{|\Delta\phi|} – |\Delta\phi| = \left(\frac{64}{1} – 1\right)\;m = 63\;m}
\tag{7}$$
Item (f):
Novamente, devemos fazer a mesma coisa do item anterior mas agora para $|\Delta\phi|= 1,5$, basta então usar esse novo valor na Equação (5):
$$
\boxed{x = \frac{64}{|\Delta\phi|} – |\Delta\phi| = \left(\frac{64}{1,5} – 1,5\right)\;m = 41,2\;m}
\tag{8}$$
