Exercício 36, Capítulo 26, Fundamentos de Física Vol. 3: nadando

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 26: Corrente e Resistência

Exercício 36:

Enunciado:

Nadando durante uma tempestade. A Fig. 26-31 mostra um nadador a uma distância $D = 35,0 \; m$ de um relâmpago, com uma corrente $I = 78 \; kA$, que atinge a água. A água tem uma resistividade de $30 \; \Omega \cdot m$, a largura do nadador ao longo de uma reta que passa pelo ponto em que caiu o raio é $0,70 \; m$ e a resistência do corpo do nadador nessa direção.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta o valor da corrente que atravessa o corpo do nadador. A Figura 26-31 do livro ilustra a situação. A ideia aqui é usar o fato de que a gente consegue calcular o campo elétrico e com isso integrar no espaço para encontrar o potencial. Sabendo o potencial, temos que a corrente no nadador é dada por:

$$
i = \frac{|V|}{R}
\tag{1}$$

em que $R$ é a resistência corporal do nadador. Como estamos considerando que a corrente se espalha na água como um hemisfério, a densidade de corrente a uma distância $r$ do relâmpago será $J(r)=I/2\pi r^2$, no qual o termo 2 no denominador vem do fato de não estarmos considerando a parte da densidade de corrente acima da superfície da água. Com isso, sabemos que o campo elétrico gerado por essa densidade de corrente será:
$$
E(r) = \rho J(r) = \frac{\rho I}{2\pi r^2}
\tag{2}$$

Como queremos calcular a corrente sentido pelo nadador, devemos calcular a diferença de potencial apenas na largura do nadador, ou seja, entre $D$ e $D+\Delta r$, de modo que temos:

$$
V = -\int_D^{D+\Delta r}E(r)dr = -\frac{\rho I}{2\pi}\int_D^{D+\Delta r}\frac{dr}{r^2} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{D+\Delta r}-\frac{1}{D}\right) = – \frac{\rho I}{2\pi}\frac{\Delta r}{D(D+\Delta r)}
\tag{3}$$

De modo que, através da Equação (1), a corrente que passa pelo corpo do nadador fica:

$$
i = \frac{|V|}{R} = \frac{\rho I}{2\pi R}\frac{\Delta r}{D(D+\Delta r)}
\tag{4}$$

No qual o módulo do potencial é apenas usado para não se preocupar com a direção em que são devidos os caminhos do potencial ou o sentido do campo elétrico, que não faz diferença para o cálculo da corrente. Substituindo os valores numéricos:

$$
i = \frac{(30\;\Omega m)(7,8\times10^{4}\;A)}{2\pi (4\times10^{3}\;\Omega)}\frac{0,7\;m}{(35\;m)(35\;m+0,7\;m)}
\tag{5}$$

O que resulta finalmente em:

$$
\boxed{i = 5,22\times10^{-2}\;A = 52\;mA}
\tag{6}$$