Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 26: Corrente e Resistência
Exercício 35:
Enunciado:
Na Fig. 26-30, uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade $ 731 \; \Omega \cdot m $, raio menor $a = 2,00 \; mm$, raio maior $b = 2,30 \; mm$ e comprimento $L = 1,94 \; cm$. A densidade de corrente é uniforme em todas as seções retas … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pergunta qual a resistência da peça. A Figura 26-30 do livro mostra o tronco de cone e suas dimensões. Perceba que a corrente entra pelo raio menor e sai pelo raio maior. Podemos escolher tal sentido de corrente como positivo. O exercício diz que a densidade de corrente $J$ é uniforme e sabemos que $J=i/A$ se relaciona com o campo elétrico $E$ da seguinte forma:
$$
J(x) = \rho E(x) = \frac{i}{A(x)}
\tag{1}$$
A ideia desse exercício é a seguinte: queremos descobrir a resistência, que tem relação com a diferença de potencial $V$ dado por $R = V/i$. Sabemos também que o potencial é a integral do campo elétrico no espaço. Então, calculando o campo elétrico através da relação acima, podemos calcular o potencial e consequentemente, a resistência.
Veja que a área do tronco de cone é depende de qual posição x estamos avaliando tal área, ou seja, a área depende de $x$ uma vez que o raio varia com a posição:
$$
A(x) = \pi r(x)^2
\tag{2}$$
Veja que o raio é uma função linear com a posição (reta). Então $r$ deve ser da forma $r=c_1+c_2x$, com $c_1$ e $c_2$ constantes. Para encontrar esses valores, vamos tomar a origem como a posição da base menor, de modo que assim $r=a$ para $x=0$, então, $c_1=a$. Também sabemos que para $x=L$, $r=b$ e a equação da reta fica, portanto, $b=a+c_2L$ o que dá $c_2=(b-a)L$. Assim, temos que:
$$
r(x) = a + \frac{b-a}{L}x
\tag{3}$$
Substituindo essa expressão em $A(x)$ e posteriormente substituindo $A$ na Equação (1), temos:
$$
E(x) = \frac{i\rho}{\pi}\left(a + \frac{b-a}{L}x\right)^{-2}
\tag{4}$$
Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre as bases do tronco de cone, ou seja, entre 0 e $L$:
$$
V = -\int_0^L E(x)dx = -\frac{i\rho}{\pi}\int_0^L \left(a + \frac{b-a}{L}x\right)^{-2}dx = \frac{i\rho}{\pi}\frac{L}{b-a}\left(a + \frac{b-a}{L}x\right)^{-1}\Bigg|_0^{L}
\tag{5}$$
\begin{align}
=\frac{i\rho}{\pi}\frac{L}{b-a}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = \frac{i\rho L}{\pi ab}
\end{align}
Tendo $V$, podemos inferir a resistência através da expressão (já convertendo os valores numéricos para metro):
$$
R = \frac{V}{i} = \frac{\rho L}{\pi ab} = \frac{(731\;\Omega m)(1,94\times10^{-2}\;m)}{\pi(2\times10^{-3}\;m)(2,3\times10^{-3}\;m)}
\tag{6}$$
O que resulta no resultado final:
$$
\boxed{R = 9,81\times10^{5}\;\Omega = 981\;k\Omega}
\tag{7}$$
