Exercício 34, Capítulo 26, Fundamentos de Física Vol. 3: fio

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 26: Corrente e Resistência

Exercício 34:

Enunciado:

A Fig. 26-29 mostra um fio 1, com $4,00R$ de diâmetro, e um fio 2, com $2,00R$ de diâmetro, ligados por um trecho em que o diâmetro do fio varia gradualmente. O fio é de cobre e está sendo percorrido por uma corrente distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio. A variação do potencial elétrico $V$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta qual a velocidade de deriva dos elétrons de condução no fio 1. A Figura 26-29 do livro mostra o fio lateralmente assim como os diâmetros $D_1$ e $D_2$ e a medida de $L$. Através da Equação 26-20 do livro, a velocidade de deriva dos portadores de carga é dado por:

$$
v_d = \frac{J_1}{ne}
\tag{1}$$

No qual $J_1$ é a densidade de corrente no fio 1. Como o exercício diz que a corrente é uniforme no fio todo, ou seja, ela é a mesma, a diferença de diâmetro e de densidade de corrente deve ser tal que:

$$
i_1 = i_2 \Longrightarrow J_1 A_1 = J_2 A_2
\tag{2}$$

Onde usamos que para correntes uniformes, vale que $i = JA$. A área pode ser calculada por $A=\pi(d/2)^2$, portanto, $A_1=\pi(4R/2)^2=4\pi R^2$ e $A_2=\pi R^2$, com isso, temos:

$$
J_1 = \frac{J_2A_2}{A_1} = \frac{J_2(\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{J_2}{4}
\tag{3}$$

Agora, precisamos encontrar o valor de $J_2$. A Equação 26-10 do livro é dada por $J=E/\rho$. O campo elétrico nós podemos calcular pelo potencial elétrico dado:

$$
E = \frac{V}{d} = \frac{V(L=2\;m)}{L} = \frac{10\;\mu V}{2\;m} = 5\;\mu V/m
\tag{4}$$

A resistividade do fio de cobre $\rho$ é um valor tabelado. Podemos encontrar seu valor na Tabela 26-1 do capítulo, no qual $\rho = 1,69\times10^{-8}\;\Omega m$. Com isso:

$$
J_2 = \frac{E}{\rho} = \frac{5\;\mu V/m}{ 1,69\times10^{-8}\;\Omega m} = 296\;A/m^2
\tag{5}$$

Usando agora as Equações (3) e (1), podemos calcular $v_d$ pedida no exercício:

$$
v_d = \frac{J_2}{4ne} = \frac{296\;A/m^2}{4(8,49\times10^{28}\;m^{-3})(1,6\times10^{-19}\;C)}
\tag{6}$$

No qual $e=1,6\times10^{-19}\;C$ é a carga do elétron. Resultamos assim em:

$$
\boxed{v_d = 5,44\times10^{-9}\;m/s}
\tag{7}$$