Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 20: Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Exercício 22:
Enunciado:
Uma garrafa térmica isolada contém 130 g de água a 80,0°C. Um cubo de gelo de 12,0 g a 0°C é introduzido na garrafa térmica, formando um sistema gelo + água original. (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema? Qual é a variação de entropia da água que originalmente era gelo (b) ao derreter e (c) ao se aquecer até a temperatura de equilíbrio? (d) Qual é a… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pede a temperatura de equilíbrio do sistema. Como o sistema está isolado termicamente, o calor $Q$ do sistema é conservado entre o estado final e inicial. Entre esses dois estados, teremos uma diminuição da temperatura da água líquida original, um aumento da temperatura do gelo e também teremos a mudança de fase do gelo em água dado pelo calor latente. Desse modo, podemos escrever que:
$$
cm_a(T_f-80) + cm_g(T_f-0) + L_Fm_g = 0
\tag{1}$$
No qual usamos algumas grandezas físicas como o calor latente de fusão da água $L_F=333\times10^3\;J/kg$ e seu calor específico $c=4190\;J/kg^{\circ}C$ e as massas de gelo e água em quilogramas ($m_g=0,012\;kg$ e $m_a=0,13\;kg$), isolando a temperatura final $T_f$ na equação acima, temos o resultado desse item:
$$
\boxed{T_f=66,5\;^{\circ}C}
\tag{2}$$
Item (b):
Agora, o exercício nos pede a variação de entropia da água que era gelo originalmente ao derreter. Portanto, no ato do derretimento, não temos variação de temperatura, apenas variação de calor devido a mudança de fase dado pelo calor latente multiplicado pela massa de gelo. A entropia tem relação com calor e temperatura dado por:
$$
\Delta S = \frac{Q}{T} = \frac{L_Fm_g}{273,15\;K}
\tag{3}$$
No qual a temperatura no caso é a temperatura em que há a mudança de fase, que no caso da fusão da água é em $0^{\circ}C$. Com isso, temos:
$$
\boxed{\Delta S = \frac{(333\times10^3\;J/kg)(0,012\;kg)}{273,15\;K} = 14,6\;J/K}
\tag{4}$$
Item (c):
Nesse item, o exercício nos pede para calcular a variação de entropia da água que era originalmente gelo até se aquecer a temperatura de equilíbrio do item (a) mas dessa vez sem considerar a mudança de fase. Portanto, agora temos variação de temperatura e com isso temos que resolver a integral:
$$
\boxed{\Delta S = \int \frac{dQ}{T} = cm_g\int_{273,15}^{339,67} \frac{dT}{T} = (4190\;J/kg^{\circ}C)(0,012\;kg) \ln \frac{339,67}{273,15} = 11\;J/K}
\tag{5}$$
Item (d):
Agora, devemos calcular a variação de entropia da água original (que está a $80^{\circ}C$) ao esfriar até a temperatura de equilíbrio $T_f$. Aqui temos a mesma ideia do item anterior com o cálculo da variação da entropia com variação de temperatura:
$$
\boxed{\Delta S = \int \frac{dQ}{T} = cm_g\int_{353,15}^{339,67} \frac{dT}{T} = (4190\;J/kg^{\circ}C)(0,13\;kg) \ln \frac{339,67}{353,15} = -21,2\;J/K}
\tag{6}$$
Repare que nos dois itens anteriores, as temperaturas foram usadas sempre em $K$, importanto para a resolução correta do problema.
Item (e):
Nesse último item, nos é perguntado a variação total de entropia do sistema gelo $+$ água original ao atingir a temperatura de equilíbrio. A variação de entropia total é justamente a soma de todas as variações de entropia calculadas nos três itens anteriores:
$$
\boxed{\Delta S = 14,6\;J/K + 11\;J/K – 21,2\;J/K = 4,4\;J/K}
\tag{7}$$
