Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 6: Força e Movimento II
Exercício 34:
Enunciado:
Na Fig. 6-37, uma prancha de massa $m_1 = 40 \; kg$ repousa em um piso sem atrito e um bloco de massa $m_2 = 10 \; kg$ repousa na prancha. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. O bloco é puxado por uma força horizontal $\vec{F}$ de módulo… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos determinar a aceleração do bloco na notação do vetores unitários. A primeira coisa a se fazer nesse tipo de exercício é desenhar o diagrama de forças para cada um dos objetos (bloco e prancha), como está feito na Figura 1 abaixo, no qual $\vec{f}$ é a força de atrito entre o bloco e a prancha e $\vec{F}_Nb$ e $\vec{F}_Np$ as forças normais do bloco e da prancha, respectivamente.
Figura 1: Diagrama de forças do bloco e da prancha.
Vamos assumir o eixo x positivo como sendo horizontal para a direito e o eixo y positivo como sendo vertical para cima. Com isso podemos aplicar a segunda Lei de Newton para os dois objetos e para as duas direções:
$$
\begin{cases}
-f = m_pa_p\\
F_{Np}-F_{Nb}-m_pg = 0\\
f-F=m_ba_b\\
F_{Nb}-m_bg = 0
\end{cases}
\tag{1}$$
Perceba que a terceira equação nos dá a relação entre a força aplicada e a aceleração do bloco, que queremos encontrar. A força de atrito pode ser escrita como a multiplicação entre a força normal e o coeficiente de atrito. Mas veja que o exercício nos dá tanto o estático quanto o cinético. Portanto, precisamos saber se o bloco desliza ou não na prancha. A maior força de atrito estático possível é dada pela quarta equação:
$$
\mu_pF_{Nb} = \mu_pm_bg = (0,6)(10\;kg)(9,8\;m/s^2) = 59\;N
\tag{2}$$
Agora, vamos calcular a força de atrito $f$ na iminência do bloco deslizar, ou seja, quando as acelerações do bloco e da prancha é a mesma:
$$
a_p = a_b = a
\tag{3}$$
Queremos fazer isso porque precisamos comparar a força de atrito com a força de atrito estático máximo calculado na Equação 2. Fazendo as acelerações iguais nas primeira e terceira equações do conjunto de equações 1:
$$
-\frac{f}{m_p} = \frac{f-F}{m_b} \Rightarrow f = \frac{m_pF}{m_p+m_b}
\tag{4}$$
Então, temos que:
$$
f = \frac{(40\;kg)(100\;N)}{40\;kg+10\;kg} = 80\;N
\tag{5}$$
Perceba que a força de atrito necessário para o bloco começar a deslizar (Equação 5) é maior que a força de atrito estático máximo (Equação 2). Isso quer dizer que o bloco desliza sobre a prancha quando a força é 100\;N (dado no enunciado) de modo que devemos usar o atrito cinético.
Agora, podemos usar a Equação 3 mas agora sabendo que $f = \mu_kF_{Nb}$:
$$
a_b = \frac{f-F}{m_b}=\frac{\mu_km_bg-F}{m_b} = \frac{(0,4)(10\;kg)(9,8\;m/s^2)-100\;N}{10\;kg}
\tag{6}$$
$$
\boxed{a_b=(-6,1\;m/s^2)\hat{i}}
\tag{7}$$
O sinal negativo da aceleração mostra que o bloco é puxado para a esquerda.
Item (b):
Nesse item, devemos calcular a aceleração da prancha. Usando a primeira equação do conjunto de Equações 1 e isolando a aceleração, temos que:
$$
a_p = -\frac{f}{m_p} = -\frac{\mu_km_bg}{m_p} = -\frac{(0,4)(10\;kg)(9,8\;m/s^2)}{40\;kg}
\tag{8}$$
$$
\boxed{a_p=(-0,98\;m/s^2)\hat{i}}
\tag{9}$$
Ou seja, a prancha também acelera para a esquerda.
