Exercício 28, Capítulo 25, Fundamentos de Física Vol. 3: capacitores

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 25: Capacitância

Exercício 28:

Enunciado:

A Fig. 25-43 mostra uma bateria de $12,0 \; V$ e três capacitores descarregados, de capacitâncias $C_1 = 4,00 \; \mu F$, $C_2 = 6,00 \; \mu F$ e $C_3 = 3,00 \; \mu F$. A chave é deslocada para a esquerda até que o capacitor 1 esteja totalmente carregado. … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Devemos determinar a carga final do capacitor 1. Primeiramente, os capacitores 2 e 3 em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente cuja capacitância é dada por:

$$
\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \Longrightarrow C_{eq} = \frac{C_2C_3}{C_2+C_3}
\tag{1}$$

A carga do capacitor equivalente é a mesma carga da soma das cargas dos capacitores 2 e 3. Vamos dizer que tal carga é $q_2$. Então, a diferença de potencial entre os terminais do capacitor equivalente é $V_2=q_2/C_{eq}$. Tal capacitor equivalente está em paralelo com $C_1$, como capacitores em paralelo tem mesmo potencial e a diferença de potencial entre os terminais do capacitor 1 é $V_1=q_1/C_1$, podemos dizer que $V_2=V_1$ e com isso:

$$
\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_{eq}}
\tag{2}$$

O exercício nos diz que a chave do circuito está para a esquerda, de modo que $C_1$ está totalmente carregado com carga digamos $q_0$. Quando a chave é deslocada para a direita, parte da carga de $C_1$ é transferida para os capacitores 2 e 3, de carga $q_2$ para o capacitor equivalente, como descrito anteriormente. Por conservação de carga, temos que:

$$
q_1+q_2= q_0 = C_1V_0
\tag{3}$$

No qual usamos que a diferença de potencial original entre os terminais do capacitor 1 é dado quando $C_1$ tem carga máxima $q_0$, que é diferente da carga $q_1$ em $C_1$ quando a chave está para direita. Agora, basta resolver o sistema de equações dado pelas Equações (2) e (3):

$$
q_2=C_1V_0 – q_1
\tag{4}$$

Que substituindo na Eq. (2):

$$
\frac{q_1}{C_1} = \frac{C_1V_0-q_1}{C_{eq}} \Longrightarrow q_1\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_{eq}}\right)=\frac{C_1V_0}{C_{eq}}
\tag{5}$$

$$
q_1 = \frac{C_1V_0}{C_{eq}}\frac{1}{\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_{eq}}\right)}
\tag{6}$$

Calculando primeiramente $C_{eq}$:

$$
C_{eq} = \frac{C_2C_3}{C_2+C_3} = \frac{(6\;\mu F)(3\;\mu F)}{6\;\mu F+3\;\mu F} = 2\;\mu F
\tag{7}$$

Com isso:

$$
q_1 = \frac{(4\;\mu F)(12\;V)}{2\;\mu F}\frac{1}{\left(\frac{1}{4\;\mu F}+\frac{1}{2\;\mu F}\right)}
\tag{8}$$

O que resulta em:

$$
\boxed{q_1 = 32\;\mu F}
\tag{9}$$

Item (b):

A carga do capacitor 2 será:

$$
q_2 = C_1V_0 – q_1 =(4\;\mu F)(12\;V)-32\;\mu C = 16\;\mu C
\tag{10}$$

$$
\boxed{q_2 = 16\;\mu C}
\tag{11}$$

Item (c):

Para a carga do capacitor 3, podemos usar o fato de que capacitores em série tem cargas iguais, e com isso:

$$
\boxed{q_3 = q_2 = 16\;\mu C}
\tag{12}$$