Exercício 34, Capítulo 21, Fundamentos de Física Vol. 3: dois elétrons

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 21: A Lei de Coulomb

Exercício 34

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Dois elétrons (1 e 2) no eixo $x$ e dois íons (3 e 4) de carga $-q$ no eixo $y$;
• O ângulo dos íons em relação ao elétron 2 é $\theta$ esse elétron está livre para se mover;
• As partículas 1, 3 e 4 são mantidas fixas a uma distância horizontal $R$ da partícula 2.

Item (a):

Nosso objetivo é impedir que o elétron 2 se mova. O exercício nos diz que $q\leq5e$ e pede para determinarmos o menor valor possível de $\theta$. O esquema das partículas está exemplificada na Figura 21-35 do livro. Primeiramente, perceba que a componente $y$ da força total que o elétron 2 está submetida é nula devido a simetria entre as partículas 3 e 4 e devido a partícula 1 estar na mesma linha horizontal de 2. Desse modo, vamos calcular a componente $x$ da força exercido pelas partículas 3 e 4, as quais serão iguais devido ao ângulo, carga e distância entre elas e a partícula 2 serem os mesmos. Com isso, temos:

$$
F_{3,4}^x = 2F_E\cos\theta = 2\frac{qe}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos\theta \tag{1}
$$

No qual o termo $\cos\theta$ dá a projeção $x$ da força total. A distância entre as partículas 3 e 4 em relação a partícula 2 é dado por:

$$
r = \frac{R}{\cos\theta}\tag{2}$$

Onde usamos que $R$ é a projeção de $r$ em $x$ e portanto escrevemos $R=r\cos\theta$ e isolamos $r$. Substituindo na Equação (1):

$$
F_{3,4}^x = \frac{2eq\cos\theta}{4\pi\epsilon_0(R/\cos\theta)^2} = \frac{2eq\cos^3\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\tag{3}
$$

Assim, para que a partícula 2 não se mova, ou seja, a resultante das forças seja nula, é preciso que a força exercida pelo elétron 1 seja igual a componente $x$ da força exercida pelos íons 3 e 4 calculada anteriormente:

$$
F_1 = F_{3,4}^x \Longrightarrow \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0R^2} = \frac{2eq\cos^3\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\tag{4} \Longrightarrow \cos^3\theta=\frac{e}{2q}
$$

Lembre-se que o exercício diz que a carga $q$ dos íons pode ser até $5e$. Como sabemos, os valores de carga devem ser múltiplos inteiros da carga elementar $e$, portanto, podemos escrever que:

$$
q = ne\tag{5}
$$

Onde $n$ é um número inteiro. Substituindo na Equação (4) e isolando o ângulo $\theta$:

$$
\cos^3\theta = \frac{1}{2n} \Longrightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2n}\right)^{1/3}\tag{6}
$$

Perceba que quanto maior o $n$, o $\cos\theta$ se aproxima de 0 e portanto o ângulo no qual seu $\cos$ se aproxima de 0 deve se aproximar de $90^{\circ}$. Portanto, o $n$ que resultará no menor ângulo, que é o pedido pelo exercício, será $n=1$. Desse modo:

$$
\boxed{\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = 37,5^{\circ}}\tag{7}
$$

Item (b):

Agora, o exercício nos pede o segundo menor valor de $\theta$. Como já discutido, esse será o ângulo tal que $n=2$, portanto:

$$
\boxed{\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1/3} = 50,9^{\circ}} \tag{8}
$$

Item (c):

Por fim, o exercício nos pede o terceiro menor valor possível de $\theta$. Novamente, esse será o caso em que $n=3$, assim:

$$
\boxed{\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)^{1/3} = 56,6^{\circ}}\tag{9}
$$

Tags: ângulo, íon, força eletrostática