Exercício 23, Capítulo 21, Fundamentos de Física Vol. 3: partículas

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 21: A Lei de Coulomb

Exercício 23

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Partículas 1 e 2 de carga $q_1=q_2=+3,2\times10^{-19}\;C$ estão no eixo $y$ a uma distância $d=17\;cm$ da origem;
• Partícula 3 de carga $q_3=+6,4\times10^{-19}\;C$ é deslocada ao longo de $x$ de $x=0$ até $x=5\;m$.

Item (a):

Nesse item, devemos calcular o valor de $x$ para que o módulo da força eletrostática exercida pelas partículas 1 e 2 na partícula 3 seja mínima. A Figura 21-32 exemplifica a situação. Perceba que a força resultante em $y$ é nula devido a simetria entre as partículas 1 e 2. Em $x$, assumindo $F$ a força resultante em $x$ na partícula 3 será:

$$
F = 2F_e\cos\theta \tag{1}
$$

No qual $\theta$ é o ângulo entre a linha que liga a partícula 1 a 3 e a horizontal. Podemos escrever o cosseno desse ângulo como sendo o cateto adjacente ($x$) sobre a hipotenusa ($\sqrt{x^2+d^2}$). Com isso, temos:

$$
\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}} \Longrightarrow F(x) = \frac{2q_1q_3}{4\pi\epsilon_0(x^2+d^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{2q_1q_3x}{4\pi\epsilon_0(x^2+d^2)^{3/2}}\tag{2}$$

No qual o fator 2 já leva em conta as duas partículas (1 e 2). Nesse item, queremos calcular o mínimo dessa função $F(x)$. Perceba que para o caso desse exercício, $x\geq0$ e que $F(0)=0$. Para $x>0$, $F(x)$ será sempre $>0$. Desse modo, o valor de $x$ que nos dá a mínima força resultante será:

$$
\boxed{x=0}\tag{3}$$

Veja que a partícula 3 nessa posição está, temos simetria tanto na horizontal como na vertical. Como as partículas 1 e 2 são de mesma carga e as 3 partículas são carregadas positivamente, a força resultante é nula.

Item (b):

Para calcular a posição para termos a força resultante máxima na partícula 3, temos que derivar a equação para $F(x)$ e igualar a 0:

$$
\frac{dF}{dx} = 0 \Longrightarrow \frac{q_1q_3}{2\pi\epsilon_0}\frac{(x^2+d^2)^{3/2}-x(3/2)(x^2+d^2)^{1/2}(2x)}{(x^2+d^2)^3} = 0 \tag{4}
$$

No qual usamos a regra da derivada do quociente. Isolando $x$ da expressão acima:

$$
(x^2+d^2)^{3/2} = 3x^2(x^2+d^2)^{1/2} \Longrightarrow x^2+d^2=3x^2 \tag{5}
$$

Com isso, temos o resultado final:

$$
\boxed{x = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{17\;cm}{\sqrt{2}} = 12\;cm} \tag{6}
$$

Item (c):

Com isso, o valor mínimo do módulo da força resultante pedido nesse item é a força na posição de mínimo $x=0$:

$$
\boxed{F(x=0) = 0} \tag{7}
$$

Item (d):

Agora, o valor máximo da força resultante será seu valor para a posição $x=12\;cm$:

$$
F = \frac{2(3,2\times10^{-19}\;C)(6,4\times10^{-19}\;C)(0,12\;m)}{4\pi(8,85\times10^{-12}C^2N^{-1}m^{-2})((0,12\;m)^2+(0,17\;m)^2)^{3/2}} \tag{8}
$$

O que resulta:

$$
\boxed{F(x=12\;cm)=4,9\times10^{-26}\;C} \tag{9}
$$