Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 3
Capítulo 21: A Lei de Coulomb
Exercício 35
Enunciado:
Nos cristais de cloreto de césio, os íons de césio, $Cs^+$, estão nos oito vértices de um cubo, com um íon de cloro, $Cl^-$, no centro (Fig. 21-36). A aresta do cubo tem 0,40 nm… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- No cloreto de césio, íons $Cs^+$ estão nos 8 vértices de um cubo com um íon $Cl^-$ no centro;
- A aresta do cubo tem $l=0,4\;nm$.
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pergunta o módulo da força elástica exercida sobre o íon $Cl^-$ pelos $Cs^+$ situados nos vértices. A Figura 21-36 do livro mostra uma célula unitária do cristal em questão. Perceba que dados dois íons $Cs^+$ que estão em uma diagonal do cubo que passa pelo $Cl^-$, tais íons irão exercer uma força de mesmo módulo e sentidos opostos sobre o íon de cloro. Veja também que essa análise pode ser feita para quais outros dois $Cs^+$ que estão na diagonal como descrito anteriormente. Portanto, a força resultando que os 8 íons $Cs^+$ (4 pares) exercem sobre o $Cl^-$ é zero:
$$
\boxed{F_R = 0}\tag{1}
$$
Item (b):
Agora o exercício nos pergunta qual o módulo da força elástica exercida sobre o íon $Cl^-$ pelos íons $Cs^+$ caso o cristal possuísse um defeito, ou seja, tivesse um dos íons $Cs^+$ faltando. Podemos pensar sobre o defeito da seguinte forma: se um íon com uma carga positiva foi retirado, podemos dizer que agora temos o equivalente a uma carga negativa resultante no lugar desse átomo que irá repelir o íon de cloro central uma vez que este também tem carga negativa. O módulo da força eletrostática entre essas duas ‘cargas negativas’ é:
$$
|F| = \frac{ke^2}{d^2}\tag{2}
$$
No qual $d$ é a distância entre o íon de cloro e o vértice. Perceba que essa distância é a hipotenusa de um triângulo formado pela altura do íon cloro ($l/2$) e a metade da diagonal paralela a base ($\sqrt{2}l/2$), ou seja:
$$
d^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}l}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{2} = \frac{3l^2}{4}\tag{3}
$$
Substituindo esse resultado na Equação (2), temos:
$$
|F|=\frac{ke^2}{(3/4)l^2} = \frac{(8,99\times10^9\;Nm^2/C^2)(1,6\times10^{-19}\;C)^2}{(3/4)(0,4\times10^{-9}\;m)^2} = 1,9\times10^{-9}\;N\tag{5}
$$
Como já discutido, uma vez que as duas cargas são negativas, a força será de repulsão de modo que:
$$
\boxed{F = -1,9\times10^{-9}\;N}\tag{6}
$$
Ou seja, o íon de cloro tende a se afastar do vértice do cubo que contém o defeito.
Tags: césio, cloro, força eletrostática
