Exercício 33, Capítulo 22, Fundamentos de Física Vol. 3: barra semi-infinita

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 22: Campos Elétricos

Exercício 33

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Barra isolante semi-infinita (infinita apenas em um sentido) possui uma densidade linear de carga uniforme $\lambda$.

Item único:

O exercício nos pede para mostrar que o campo elétrico ($\vec{E}_p$) no ponto $P$ faz um ângulo de $45^{\circ}$ com a barra e que o resultado não depende da distância $R$. A Figura 22-56 do livro mostra a barra semi-infinita e a localização do ponto $P$ e da distância $R$. Ainda, o exercício nos sugere calcular separadamente as componentes de $\vec{E}_p$ na direção paralela à barra e perpendicular da barra. Para resolvermos esse exercício, vamos considerar um elemento infinitesimal $dx$ da barra, situado a distância $x$ da extremidade esquerda. Como a densidade linear da barra é uniforme, $dx$ tem uma carga $dq$ dada por:

$$dq=\lambda dx\tag{1}
$$

O infinitesimal $dq$ está a uma distância $r$ do ponto P e faz um ângulo $\theta$ com $R$, como mostrado na Figura 1 abaixo:

Figura 1: Ilustração da situação do problema.

Devido a $dq$, irá surgir um campo elétrica $dE$ dado por:

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dx}{r^2}\hat{r}\tag{2}
$$

Onde usamos a Equação (1) na última igualdade. Perceba que o campo elétrico é dado na direção de $r$ como se tivéssemos tratando do elemento $dq$ como uma partícula. Como a barra não é simétrica, ou seja, ela se estende apenas para um dos lados, a componente $x$ não se anula por simetria. Como o exercício nos sugeriu, vamos calcular separadamente as componente $x$ e $y$ do campo elétrico:

$$dE_x = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dx}{r^2}\sin\theta\tag{3}
$$

$$dE_y = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dx}{r^2}\cos\theta\tag{4}
$$

Como temos termos $\sin$ e $\cos$, ao invés de integrarmos em $dx$, vamos usar $\theta$ como variável de integração. Veja que:

$$\tan \theta = \frac{x}{R} \Longrightarrow x = R\tan \theta \Longrightarrow dx = \frac{R}{\cos^2\theta}d\theta\tag{5}
$$

No qual usamos que $d(\tan\theta)/d\theta = \sec^2\theta = 1/\cos^2\theta$. Através de trigonometria, também podemos reescrever a distância $r$ do denominador do campo elétrico como sendo $r=R/\cos\theta$. Substituindo $dx$ e $r$ nas equações das componentes do campo:

$$dE_x = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{\cos^2\theta}\frac{\cos^2\theta}{R^2}\sin\theta d\theta = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda \sin\theta}{R}d\theta\tag{6}
$$

$$dE_y = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{\cos^2\theta}\frac{\cos^2\theta}{R^2}\cos\theta d\theta = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda \cos\theta}{R}d\theta\tag{7}
$$

Para encontrarmos o campo, devemos integrar os infinitesimais de campo em cada componente. Os limites de integração em $\theta$ será de 0 (quando $x=0$) até $\pi/2$ (quando $x \xrightarrow{} \infty$). Portanto, integrando, temos:

$$E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 R} \int_0^{\pi/2}\sin\theta d\theta = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 R} \cos\theta \Big|_0^{\pi/2} = \frac{-\lambda}{4\pi\epsilon_0 R}\tag{8}
$$

$$E_y = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 R} \int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta =- \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 R} \sin\theta \Big|_0^{\pi/2} = \frac{-\lambda}{4\pi\epsilon_0 R}\tag{9}
$$

Perceba que as componentes $x$ e $y$ do campo são iguais. Para calcular o ângulo do vetor $\vec{E}$, usamos trigonometria:

$$\tan \theta = \frac{E_x}{E_y}= \frac{\frac{-\lambda}{4\pi\epsilon_0 R}}{\frac{-\lambda}{4\pi\epsilon_0 R}} = 1\tag{10}
$$

O que resulta no que queríamos demonstrar:

$$\boxed{\theta = 45^{\circ}}\tag{11}
$$

E a distância $R$ pode ser qualquer valor, como diz o exercício, uma vez que o termo se cancela independente do seu valor.