Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 3
Capítulo 22: Campos Elétricos
Exercício 21
Enunciado:
Quadrupolo elétrico. A Fig. 22-46 mostra um quadrupolo elétrico, formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos. Mostre que o valor de E em um ponto P do eixo do… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- A Figura 22-46 do livro mostra um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos.
Item único:
Devemos mostrar que o valor do campo elétrico $E$ em um ponto $P$ do eixo do quadrupolo situado a uma distância $z$ do centro supondo $z>>d$ é dado por:
$$E = \frac{3Q}{4\pi\epsilon_0 z^4}\tag{1}
$$
Em que $Q=2qd^2$ é o momento quadrupolar da distribuição de cargas. Como mostrado na Figura do exercício, o ponto P está a uma distância $z$ a direita do centro do quadrupolo. Vamos tomar o sentido positivo de $z$ para a direita e tratar cada um dos dipolos de forma separada. O dipolo formado pelas cargas da direita nos dá um campo elétrico dado por (Veja Equação 22-9 do livro):
$$E_+ = \frac{p}{2\pi\epsilon_0 r^3} = \frac{qd}{2\pi\epsilon_0 (z-d/2)^3}\tag{2}
$$
No qual usamos que a distância $r$ é a distância do ponto P ao centro do dipolo considerado. Daí o termo $-d/2$. Usamos também que o dipolo $p$ é carga multiplicado por distância (definição de dipolo). Vamos fazer o mesmo para o dipolo negativo, que aponta para a esquerda:
$$E_- = \frac{-p}{2\pi\epsilon_0 r^3} = \frac{-qd}{2\pi\epsilon_0 (z+d/2)^3}\tag{3}
$$
O campo elétrico total do quadrupolo será a soma dos dois campos calculados:
$$E = E_++E_- = \frac{qd}{2\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{(z-d/2)^3}-\frac{1}{(z+d/2)^3}\right]\tag{4}
$$
Para chegar a resposta do exercício, temos que usar expansões binomiais justamente para eliminar os parênteses dos denominadores. De modo mais geral, o teorema binomial para $n$ negativo (uma vez que no nosso caso $n=-3$) diz que:
$$(x+y)^{-n} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{(n+k-1)!}{k!(n+1)!}x^{-n-k}y^k\tag{5}
$$
Nós queremos aplicar esse teorema para a expressão $(z\pm d/2)^{-3}$. Fazendo um paralelo com os termos do teorema, teremos:
$$\begin{split}
x\Longrightarrow z\\
y \Longrightarrow \pm d/2\\
n \Longrightarrow 3
\end{split}\tag{6}$$
Então, aplicando o teorema com os termos do nosso problema, teremos:
$$(z+d/2)^{-3} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{(3+k-1)!}{k!(3-1)!}z^{-3-k}(d/2)^k \approx z^{-3} – 3z^{-4}(d/2)\tag{7}
$$
Perceba que calculamos apenas até o segundo termo e portanto temos um resultado aproximado. Fizemos isso porque o exercício disse que a expressão para o campo elétrico que ele quer que nós calculamos é proporcional a $z^{-4}$ e o terceiro termo da expressão acima resultaria o termo de $z^{-5}$. Aplicando o teorema binomial agora para o termo $(z-d/2)^{-3}$:
$$(z-d/2)^{-3} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(3+k-1)!}{k!(3-1)!}z^{-3-k}(-d/2)^k \approx z^{-3} – 3z^{-4}(-d/2)\tag{8}
$$
Voltando a Equação (4) substituindo os termos da expansão binomial calculados, temos:
$$E = \frac{qd}{2\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{(z-d/2)^3}-\frac{1}{(z+d/2)^3}\right] = \frac{qd}{2\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{z^3}+\frac{3d}{2z^4}-\frac{1}{z^3}+\frac{3d}{2z^4}\right]\tag{9}
$$
$$E = \frac{6qd^2}{4\pi\epsilon_0 z^4}\tag{10}
$$
Usando o dado no exercício de que $Q=2qd^2$, temos a resposta final:
$$\boxed{E = \frac{3Q}{4\pi\epsilon_0 z^4}}\tag{11}
$$
