Exercício 32, Capítulo 22, Fundamentos de Física Vol. 3: barra fina

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 22: Campos Elétricos

Exercício 32

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Carga positiva $q=7,81\;pC$ distribuída uniformemente em uma barra fina, isolante e de comprimento $L=14,5\;cm$.

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede para calcular o módulo do campo elétrico produzido no ponto P situado na mediatriz da barra, a uma distância $R=6\;cm$ da barra. A Figura 22-55 do livro exemplifica o problema. O campo elétrico para uma carga pontual é dado por:

$$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2} \tag{1}
$$

Para uma barra, nós teremos que considerar um infinitesimal de carga $dq$ e integrá-lo na extensão da barra toda:

$$E = \int \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2} \tag{2}
$$

Vamos agora montar nossa integral de acordo com o exercício. Como o exercício diz que a carga total está distribuída de maneira uniforme na barra, podemos dizer que para um elemento infinitesimal de comprimento da barra $dx$ temos uma carga $dq$ relacionada por:

$$dq = \lambda dx \tag{3}
$$

No qual $\lambda$ é a densidade linear de carga. Por simetria, perceba que a contribuição para o campo elétrico total de um elemento de comprimento da barra a esquerda de seu centro será o mesmo que para um elemento de comprimento exatamente oposto. Então, o campo elétrico total será 2x a integral de metade da barra, ou seja, de 0 a $L/2$. Também por simetria, veja que a componente $x$ do campo se cancela para dois elementos de carga opostos na barra, de modo que apenas a componente $y$ do campo elétrico será não nula. Tal componente será a projeção do campo em $y$ dado por $E\sin\theta$ no qual $\theta = R/r$.

A distância do ponto P em que queremos calcular o campo para um elemento de carga $dq$ da barra que está a uma distância $x$ de seu centro será dado por Pitágoras:

$$r = \sqrt{x^2+R^2} \Longrightarrow \theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}} \tag{4}
$$

Com isso, voltamos a integral da Equação (2):

$$E = 2\int_0^{L/2} \left(\frac{dq}{4\pi\epsilon_0 r^2}\right)\sin\theta = \frac{2}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{L/2}\left(\frac{\lambda dx}{x^2+R^2}\right)\left(\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}\right) \tag{5}
$$

Como $\lambda$ é a densidade de carga uniforme, pode escrever como sendo a carga dividido pelo comprimento.

$$\lambda = \frac{q}{L}  \tag{6}
$$

Com isso, temos:

$$\begin{split}
E = \frac{qR}{2\pi\epsilon_0 L} \int_0^{L/2} \frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}} = \frac{qR}{2\pi\epsilon_0 L} \int_0^{L/2} \frac{x}{R^2\sqrt{x^2+R^2}}\Big|_0^{L/2} \\= \frac{q}{2\pi\epsilon_0 LR}\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+R^2}} =\frac{q}{2\pi\epsilon_0 R}\frac{1}{\sqrt{L^2+4R^2}}
\end{split} \tag{6}
$$

O valor da integral pode ser obtida utilizando os métodos conhecidos de integração mas essa é uma integral que aparece com uma certa frequência nessa área de cálculo do campo elétrico e no Apêndice E do livro do Halliday tem uma lista de integrais em que essa que utilizamos é a integral 19 desse Apêndice.

Agora que temos a expressão para o campo elétrico, podemos substituir os valores numéricos conhecidos:

$$E = \frac{7,81\times10^{-12}\;C}{2\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2N^{-1}m^{-2}) (0,06\;m)}\frac{1}{\sqrt{(0,145\;m)^2+4(0,06\;m)^2}} = 12,4\;N/C \tag{7}
$$

Portanto, o módulo do campo elétrico é:

$$\boxed{E = 12,4\;N/C} \tag{8}
$$

Item (b):

Agora, vamos calcular a orientação do vetor campo elétrico em relação ao semieixo $x$ positivo. Por simetria, podemos ver que a componente $x$ do campo elétrico de um elemento de comprimento da barra do lado esquerdo de seu centro se cancela com a componente $x$ do campo gerado outro elemento de mesmo comprimento do lado oposto da barra. Portanto, o vetor campo elétrico será apenas no eixo $y$, ou seja, $\vec{E} = E\hat{y}$. Com isso, o ângulo que esse vetor faz com o eixo $x$ será:

$$
\boxed{\theta = 90^{\circ}} \tag{9}
$$