Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 3: Vetores
Exercício 32
Enunciado:
Na Fig. 3-31, um cubo, de aresta a, tem um dos vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas $xyz$. A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo, passando pelo centro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas coordenadas são… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Cubo de aresta $a$;
- Um dos vértices posicionado na origem.
Item (a):
Na notação de vetores unitários, devemos escrever o vetor de uma diagonal do cubo que passa pelo vértice (0,0,0). Essa coordenada portanto, será o início do vetor. O final dele, passando pelo centro e indo em direção a diagonal do vetor será o ponto (a,a,a). (Visualize na imagem da questão). O vetor é dado pela subtração entre a posição final e a posição inicial:
$$\vec{v} = pos. final – pos. inicial = (a,a,a) – (0,0,0) = (a-0)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} \tag{1}
$$
Portanto, em termos de vetores unitários:
$$\boxed{\vec{v} = a\hat{i}+a\hat{j}+a\hat{k}} \tag{2}
$$
Item (b):
Nesse item, o início do vetor é em (a,0,0). Veja na figura que o ponto diagonalmente oposto é (0,a,a). O vetor que liga os dois pontos:
$$\vec{v} = v_{final}-v_{inicial} = (0,a,a) – (a,0,0) = (-a,a,a) \tag{3}
$$
$$\boxed{\vec{v} = -a\hat{i}+a\hat{j}+a\hat{k}} \tag{4}
$$
Item (c):
Agora, o início do vetor é (0,a,0). O ponto diagonalmente oposto é (a,0,a). Perceba se uma coordenada é 0, o ponto diagonalmente oposto é a, e vice-versa. Tente ver o porquê disso na figura dada pelo exercício. Como vimos nos itens acima, o vetor então fica:
$$\vec{v} = (a,0,a) – (0,a,0) = (a,-a,a) \tag{5}
$$
Na forma de vetores unitários:
$$\boxed{\vec{v} = a\hat{i}-a\hat{j}+a\hat{k}} \tag{6}
$$
Item (d):
O início do vetor é (a,a,0). O final dele, diagonalmente oposto é dado por (0,0,a). De modo que o vetor é:
$$\boxed{\vec{v} = (0,0,a)-(a,a,0) = (-a,-a,a) = -a\hat{i}-a\hat{j}+a\hat{k}} \tag{7}
$$
Item (e):
Agora, vamos determinar o ângulo da diagonal com uma aresta do cubo. Perceba que podemos escrever a diagonal do cubo (a,a,a) como sendo a soma do vetor $a\hat{i}$ com o vetor perpendicular ao eixo x, $a\hat{j}+a\hat{k}$. Novamente, sempre visualize essas posições na figura dada pelo exercício para ficar claro. A tangente do ângulo do vetor diagonal com o eixo x é o cateto oposto ($a\hat{j}+a\hat{k}$) com o cateto adjacente ($a\hat{i}$):
$$tan(\theta) = \frac{cat\;oposto}{cat\;adjacente} = \frac{|a\hat{j}+a\hat{k}|}{|a\hat{i}|} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2} \tag{8}
$$
Desse modo, temos que:
$$\boxed{\theta = arctan(\sqrt{2}) = 54,7\;^{o}} \tag{9}
$$
Se fizermos esse mesmo estudo para todas as diagonais do cubo veremos que o ângulo será sempre o mesmo. Podemos ver isso se pensarmos que podemos girar o cubo de modo que a diagonal que queremos calcular fique na posição da diagonal que já calculamos.
Item (f):
Agora, vamos determinar o comprimento das diagonais. Já vimos que as diagonais tem o mesmo tamanho, então basta calcular o comprimento de uma delas. Por Pitágoras, o módulo (comprimento) da diagonal é dada por:
$$|\vec{v}| = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{3a^2} \tag{10}
$$
$$\boxed{|\vec{v}| = a\sqrt{3}} \tag{11}
$$
