Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Capítulo 1: Medição
Exercício 31
Enunciado:
Um recipiente vertical cuja base mede 14,0 cm por 17,0 cm está sendo enchido com barras de chocolate que possuem um volume de 50 mm3 e uma massa de 0,0200 g. Suponha que o espaço vazio entre as barras de chocolate é tão pequeno que… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Recipiente de base $14\;cm$ por $17\;cm$;
- Barras de chocolate com volume $50\;mm^{3}$ e massa de $0,02\;g$;
- Razão de aumento da altura do chocolate é de $0,250\;cm/s$.
Item Único:
O exercício nos pede para calcular a taxa de aumento das barras no recipiente em $kg/min$. A situação é descrita na Figura abaixo, lembrando que a altura vai depender do tempo $h(t)$.
Esquema do recipiente descrito no exercício.
Como o exercício já nos dá a taxa de aumento da altura das barras, já temos portanto a derivada de $h(t)$ em relação a $t$, dada por:
$$
\frac{dh}{dt}=0,250\;cm/s \tag{1}
$$
Mas o que queremos calcular é a taxa de massa ($m$) em relação ao tempo, ou seja, $dm/dt$.
Para isso, podemos pensar é partir da densidade ($\rho$) do chocolate uma vez que ela relaciona a massa com o volume do recipiente. Escrevendo de forma diferencial:
$$
\rho=\frac{dm}{dV}=\frac{1}{A}\frac{dm}{dh} \tag{2}
$$
No qual a segunda igualdade vem de que podemos escrever o diferencial de volume como a área do recipiente vezes o diferencial de altura:
$$
dV=Adh \tag{3}
$$
Como só temos o termo de $dh/dt$, podemos usar a regra da cadeia (ou podemos pensar como multiplicar a expressão por $dt/dt$, temos, já escrevendo que $A=ab$:
$$
\rho=\frac{dm}{dV}=\frac{1}{ab}\frac{dm}{dt}\frac{dt}{dh} \tag{4}
$$
Como queremos calcular $dm/dt$, iremos isolá-lo:
$$
\frac{dm}{dt}=\rho a b \frac{dh}{dt} \tag{5}
$$
Podemos calcular $\rho$ sabendo que $\rho=m/V$:
$$
\rho = \frac{m}{V}=\frac{0,02\;g}{50\;mm^{3}}\cdot\frac{1\;mm^{3}}{10^{-3}\;cm^{3}}= 0,4\;\frac{g}{cm^{3}} \tag{6}
$$
Voltando na Eq. (5):
$$
\frac{dm}{dt}=(0,4\;g/cm^{3})(14\;cm)(17\;cm)(0,250\;cm/s)=28,3\;g/s \tag{7}
$$
Convertendo para as unidades pedidas pelo exercício:
\begin{equation}
\boxed{\frac{dm}{dt}=28,3\frac{g}{s}\cdot\frac{1\;kg}{10^{3}\;g}\cdot\frac{60\;s}{min}=1,43\frac{kg}{min}}
\end{equation}
