Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Capítulo 1: Medição
Exercício 30
Enunciado:
Despeja-se água em um recipiente que apresenta um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo $t$ é dada por $m(t)=5t^{0,8}-3t+20$ para $t\geq0$ ,em que a massa está em gramas e o tempo em segundos… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Massa em função do tempo: $m(t)=5t^{0,8}-3t+20$ para $t\geq0$;
- Massa em $g$ e tempo em $s$.
Item (a):
Devemos calcular o instante a massa de água é máxima.
Para melhor análise do problema, podemos tentar entender a cara da função $m(t)$. Por exemplo, se plotarmos a função $t^{0,8}$ e $t$, veremos que uma função é maior que a outra até $t=1$ e para $t>1$, isso se inverte, como está mostrado na Figura abaixo.
Plot das funções $t^{0,8}$ e $t$.
Outra forma de termos visto isso é calcular as duas funções em um valor $t<1$ e em outro $t>1$. Portanto, a partir disso podemos dizer que a função do exercício $m(t)$ não é linear, mas se assemelha mais a uma parábola. Sabendo disso, podemos analisar o máximo ou mínimo derivando $m$ em relação a $t$ e igualando a $0$.
$$
\frac{dm}{dt}=0=4t^{-0,2}-3\tag{1}
$$
$$
\boxed{t = \Bigg(\frac{3}{4}\Bigg)^{-\frac{1}{0,2}} = 4,21\;s}
$$
Esse tempo não nos diz se é um valor de máximo ou mínimo da função. Para tal, devemos analisar o sinal do resultado da segunda derivada da função no ponto $t=4,21\;s$. Ou seja, caso $\frac{d^{2}\;m}{dt^{2}}|_{t=4,21\;s}<0$, então a função tem concavidade para baixo e assim podemos dizer que a massa em $t=4,21\;s$ é um ponto de máximo.
$$
\frac{d^{2}\;m}{dt^{2}}=-0,8t^{-1,2} \Rightarrow \frac{d^{2}\;m}{dt^{2}}|_{t=4,21\;s} = -0,8(4,21)^{-1,2}=-0,14 < 0 \tag{2}
$$
Portanto, podemos afirmar que em $t=4,21\;s$ temos um ponto de máximo, ou seja, é o tempo em que temos o máximo de massa de água.
Item (b):
Para $t=4,21\;s$, o valor de $m(t)$ será:
$$
m_{4,21\;s}=5(4,21)^{0,8}-3(4,21)+20 = 23,2\;g \tag{3}
$$
Item (c):
O exercício nos pede a taxa de variação da massa em $kg/min$ em $t=2\;s$. Para isso, basta calcularmos a primeira derivada da massa no tempo desejado. Fazendo isso e já transformando as unidades, temos:
$$
\frac{dm}{dt}|_{t=2\;s}=4(2)^{-0,2}-3 = 0,48\frac{g}{s}\cdot \frac{1\;kg}{10^{3}\;g}\cdot\frac{60\;s}{1min} = 0,03 \frac{kg}{min}\tag{4}
$$
Item (d):
O exercício nos pede para repetir o procedimento dessa vez para $t=5\;s$:
$$
\frac{dm}{dt}|_{t=5s}=4(5)^{-0,2}-3 = -0,1\frac{g}{s}\cdot \frac{1\;kg}{10^{3}\;g}\cdot\frac{60\;s}{1min} = -0,006 \frac{kg}{min}\tag{5}
$$
Ou seja, 2 segundos depois de começar a encher o recipiente, o vazamento ainda é menor do que a taxa de enchimento, enquanto que 5 segundos depois do início do despejo de água, já se perde mais água do que se coloca.
