Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 2:
Enunciado:
No manômetro de reservatório (Fig. P.2), calcula a diferença de pressão $p_1 – p_2$ entre os dois ramos em função da densidade $\rho$ do fluido, dos diâmetros $d$ e $D$ e da altura… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Na situação do equilíbrio, a pressão do lado esquerdo é igual a do lado direito. No caso do lado esquerdo, não há coluna de líquido, logo a pressão é simplesmente $p_1$.
No lado direito, a pressão é dada pela soma de $p_2$, mais a pressão da coluna de líquido de altura $h + H$, de forma que podemos escrever:
$$
p = p_2 + \rho g (h + H)
\tag{1}$$
Logo, nós podemos escrever a seguinte expressão:
$$
p_1 = p_2 + \rho g (h + H)
\tag{2}$$
Para determinarmos a diferença de pressão como pede o exercício, devemos eliminar $H$ da equação acima. Pela descrição dada no enunciado, quando o fluido está no nível $N_0$, o nível do ramo esquerdo aumenta $H$, e do lado direito diminui $h$. Em outras palavras, existe uma variação de volume proporcional a $H$ do lado esquerdo, que é igual a variação de volume do lado esquerdo, que é proporcional a $h$. Sabendo que o exercício fala em diâmetro dos tubos, podemos então considerá-los cilindros, sendo assim podemos escrever as variações de volume da seguinte forma:
$$
\Delta V_{esq} = \Delta V_{dir} = \frac{\pi D^2 H}{4} = \frac{\pi d^2 h}{4}
\tag{3}$$
O que resulta em:
$$
H = h \frac{d^2}{D^2}
\tag{4}$$
Sendo assim, podemos subistituir na equação 2:
$$
p_1 = p_2 + \rho g (h + h \frac{d^2}{D^2})
\tag{5}$$
Portanto o resultado é:
$$
\boxed{p_1 – p_2 = \rho g h(1 + \frac{d^2}{D^2})}
\tag{6}$$
