Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Capítulo 1: Medição
Exercício 26
Enunciado:
Em um centímetro cúbico de uma nuvem cúmulo típica existem de 50 a 500 gotas d’água, com um raio típico de 10 μm. Para essa faixa de valores, determine os valores mínimo e máximo, respectivamente, das seguintes grandezas… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Em $1\;cm^{3}$ tem de 50 a 500 gotas;
- Uma gota tem $10\;\mu m$ de raio.
Item (a):
O exercício nos pede o volume de água em $m^{3}$ numa nuvem cilíndrica de $3\;km$ de altura e $1\;km$ de raio tanto para 50 quanto para 500 gotas.
Primeiro, calculamos o volume total da nuvem, fazendo o volume do cilindro:
$$
V_{nuvem} = A_{base}\cdot h = \pi r^{2}\cdot h = \pi (1\;km)^{2}\cdot 3\;km = 9,4\;km^{3}\tag{1}
$$
Utilizando a equação do volume de uma esfera, podemos calcular o volume de um gota (já convertendo $10\mu m = 10^{-3}\;cm$):
$$
V_{gota} = \frac{4\pi r^{3}}{3} = \frac{4\pi (10^{-3} \;cm)^{3}}{3}=4,2\cdot10^{-9} \;cm^{3}\tag{2}
$$
Portanto, em $1\;cm^{3}$ de nuvem tem bem menos que $1\;cm^{3}$ de água. E é exatamente isso que temos que levar em conta para encontrarmos o volume de água na nuvem ($V_{agua}$). Primeiramente, fazendo para uma nuvem que tenha 50 gotas em $1\;cm^{3}$:
$$
V_{agua}=9,4\;km^{3}\cdot \frac{10^{15}\;cm^{3}}{1\;km^{3}}\cdot\frac{50 gotas}{1\;cm^{3}}\cdot \frac{4,2\cdot 10^{-9}\;cm^{3}}{1\;gota} =2\cdot10^{9}\;cm^{3}\cdot\frac{10^{-6}\;m^{3}}{1\;cm^{3}}=2000\;m^{3}\tag{3}
$$
Fazendo o mesmo para 500 gotas:
$$
V_{agua}=9,4\;km^{3}\cdot \frac{10^{15}\;cm^{3}}{1\;km^{3}}\cdot\frac{500 \;gotas}{1\;cm^{3}}\cdot \frac{4,2\cdot 10^{-9}\;cm^{3}}{1\;gota} \\= 2\cdot10^{10}\;cm^{3}\cdot\frac{10^{-6}\;m^{3}}{1\;cm^{3}}=20.000\;m^{3}\tag{4}
$$
Item (b):
O enunciado nos pede o número de garrafas de 1L que podem ser enchidas com essa quantidade de água. Lembrando que $1L=1000\;cm^{3}$, basta, portanto, dividirmos o volume total por $1000\;cm^{3}$.
Para 50 gotas, temos:
$$
N_{garrafas}=\frac{V_{agua}}{1000\;cm^{3}} = \frac{2000\;m^{3}}{1000\;cm^{3}}\cdot\frac{1\;cm^{3}}{10^{-6}\;m^{3}} = 2\cdot 10^{6}\;garrafas \tag{5}
$$
Para 500 gotas, basta multiplicar o $N_{garrafas}$ por 10, ou seja, $N_{garrafas}=2\cdot10^{7}$ ou 20 milhões de garrafas.
Item (c):
Nos é informado que em $1\;m^{3}$ de água tem $1000\;kg$. Portanto, basta convertermos o volume de água em massa. Para a nuvem com 50 gotas por $cm^{3}$, temos:
$$
V_{agua}=2000\;m^{3}\cdot\frac{1000\;kg}{1\;m^{3}}=2\cdot 10^{6}\;kg \tag{6}
$$
Ou seja, 2000 toneladas de água. Para a nuvem com 500 gotas, teríamos então $2\cdot 10^{7}\;kg$ ou 20.000 toneladas de água.
