Exercício 25, Capítulo 16, Fundamentos de Física Vol. 2: corda homogênea

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 16: Ondas-I

Exercício 25:

Enunciado:

Uma corda homogênea de massa m e comprimento L está pendurada em um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

O exercício nos pede para mostrar que a velocidade de uma onda transversal na corda depende de $y$ (distância da extremidade inferior) e é dado por:

$$
v = \sqrt{gy}
\tag{1}$$

Primeiramente, sabemos que a velocidade de um onda num meio é dada por:

$$
v = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}
\tag{2}$$

No qual $\tau$ é a tração da corda no ponto em que queremos calcular a velocidade e $\mu$ é a massa específica linear da corda. Como a corda está pendurada, a tensão nela depende do quanto de corda está exercendo uma força para baixo devido ao resto de corda abaixo do ponto sendo puxado pela gravidade.

Vamos considerar um ponto da corda como sendo o ponto $y$ descrito no exercício. As forças que são exercidas nesse ponto são a força peso devido ao restante de corda abaixo do ponto e a tração para cima que segura a corda pendurada. Como a corda está em equilíbrio, essas forças devem ser iguais.

O termo $mu$ é a densidade da corda, dado em massa por comprimento. Então o peso do pedaço de corda abaixo do ponto $y$ é:

$$
P = (\mu y)g
\tag{3}$$

Como foi dito, a tração deve se igualar ao peso:

$$
\tau = P = \mu g y
\tag{4}$$

Agora conhecendo $\tau$, substituímos na Equação (2):

$$
\boxed{v = \sqrt{\frac{\mu gy}{\mu}} = \sqrt{gy}}
\tag{5}$$

Como queríamos demonstrar.

Item (b):

Agora, o exerício nos pede para mostrar que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por:

$$
t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}
\tag{6}$$

Para isso, podemos integrar um diferencial de tempo e substituir pela dependencia em $y$. Perceba que podemos escrever o tempo total como sendo:

$$
t = \int_0^{t} dt
\tag{7}$$

Através da cinemática básica, podemos escrever a velocidade como:

$$
v = \frac{dy}{dt} \Longrightarrow dt = \frac{dy}{v}
\tag{8}$$

Sendo que a velocidade nós já calculamos no item anterior, portanto, substituindo a Equação (5):

$$
dt = \frac{dy}{\sqrt{gy}}
\tag{9}$$

Agora, substituímos esse resultado na Equação (7):

$$
t = \int_0^L \frac{dy}{\sqrt{gy}}
\tag{10}$$

Perceba que o limite superior de integração mudou uma vez o exercício nos diz que o tempo total é para percorrer toda a corda, então, a integral em $dy$ é no comprimento total da corda $L$ e não mais no tempo. Calculando a integral, temos:

$$
\boxed{t = \frac{1}{\sqrt{g}}\int_0^L \frac{dy}{\sqrt{y}} = \left.{2\sqrt{\frac{y}{g}}}\right\vert_{0}^{L} = 2\sqrt{\frac{L}{g}}}
\tag{11}$$

Como queríamos demonstrar.