Exercício 20, Capítulo 21, Fundamentos de Física Vol. 3: três partículas

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 21: A Lei de Coulomb

Exercício 20

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Sistema de três partículas carregadas separadas por uma distância $d$, como mostrado na Figura 21-30(a) do livro;
• Partículas A e C estão presas no eixo $x$ mas B pode se mover ao longo de uma circunferência com centro em A;
• Durante o movimento, um segmento de reta que liga A e B faz um ângulo $\theta$ com o eixo $x$, veja Figura 21-30(b);
• A Figura 21-30(c) mostra a força eletrostática total (para dois valores diferentes de razão entre as cargas de C e B) que as outras partículas exercem sobre A em função do ângulo $\theta$ como múltiplo de uma força referência $F_0$.

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede qual a razão entre as cargas das partículas C e B ($q_C/q_B$) incluindo o sinal nas condições em que o gráfico 1 da força em função do ângulo foi obtido. Primeiramente, note que as distâncias entre as partículas A e B e entre as partículas A e C são constantes para qualquer posição de B. Agora, vamos olhar para os ângulos extremos do gráfico dado. Quando $\theta=0$, as partículas estão posicionadas como na Figura 21-30(a) e o gráfico nos diz que a força exercida sobre A é 0 de modo que podemos concluir que:

$$
F_{BA} + F_{CA} = 0 \Longrightarrow \frac{kq_Bq_A}{d^2} = -\frac{kq_Cq_A}{4d^2} \tag{1}
$$

No qual usamos que a distância entre A e B é $d$ e entre C e A é $2d$. Com isso temos:

$$
\frac{q_C}{q_B} = -4 \tag{2}$$

A princípio já temos a resposta para esse item. Mas vamos verificar se esse resultado se sustenta para o outro extremo do ângulo, ou seja, $\theta=180$. Nesse caso, B está do lado esquerdo de A e a força que A sente devido a B e C é $2F_0$. Então, podemos escrever que:

$$
F_{AC} – F_{AB} = 2F_0 \tag{3}
$$

No qual o sinal negativo de $F_{AB}$ vem do fato da partícula B estar agora do lado oposto da partícula A. Com isso temos:

$$
\frac{kq_Aq_C}{4d^2} – \frac{kq_Aq_B}{d^2} = 2F_0 \tag{4}
$$

Podemos definir $F_0$ como a força eletrostática entre A e C, uma vez que essa grandeza é uma constante no nosso problema já que essas duas partículas estão sempre paradas, com isso:

$$
F_0 = \frac{kq_Aq_C}{4d^2} \tag{5}
$$

Substituindo na Equação (4), temos:

$$
F_0 – 4\frac{q_B}{q_C}F_0 = 2F_0 \tag{6}
$$

No qual multiplicamos o segundo termo da Equação (4) por ($q_C/q_C$) para termos os termos corretos para a substituição. Simplificando $F_0$, temos que:

$$
1 – \frac{4q_B}{q_C} = 2 \Longrightarrow \frac{q_B}{q_C} = -\frac{1}{4} \Longrightarrow \frac{q_C}{q_B} = -4 \tag{7}
$$

E com isso temos o mesmo resultado da Equação (2) o que confirma nossa resposta a esse item:

$$
\boxed{\frac{q_C}{q_B}=-4} \tag{8}
$$

Item (b):

Agora, devemos calcular novamente $q_C/q_B$ para a situação do gráfico 2. Vamos usar a mesma estratégia do item anterior. Como temos a escala em $y$, podemos dizer através do gráfico que a força total para $\theta=0$ é $1,25F_0$, o que nos dá:

$$
\frac{kq_Aq_C}{4d^2}+\frac{kq_Aq_B}{d^2} = 1,25F_0 \tag{9}
$$

Assumindo $F_0$ como na Equação (5), ficamos com:

$$
F_0+\frac{4q_B}{q_C}F_0 = 1,25F_0 \Longrightarrow \frac{4q_B}{q_C} = 0,25 \tag{10}
$$

O que nos resulta finalmente em:

$$
\frac{q_C}{q_B} = \frac{4}{0,25} = 16 \tag{11}
$$

Essa pode ser nossa resposta para esse item, mas vamos ver se esse resultado se sustenta para $\theta=180$. Nesse caso, temos que a força é $0,75F_0$ analisando a escala do gráfico dado. Nesse caso, temos a força de B em A negativa uma vez que agora B se encontra do lado oposto:

$$
\frac{kq_Aq_C}{4d^2}-\frac{kq_Aq_B}{d^2} = 0,75F_0 \tag{12}
$$

$$
F_0-\frac{4q_B}{q_C}F_0=0,75F_0 \Longrightarrow -\frac{4q_B}{q_C}=-0,25 \tag{12}
$$

O que novamente nos resulta em $q_C/q_B=16$, que é portanto a resposta pra esse item:

$$
\boxed{\frac{q_C}{q_B}=16} \tag{13}$$

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