Exercício 21, Capítulo 21, Fundamentos de Física Vol. 3: casca esférica

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 21: A Lei de Coulomb

Exercício 21

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Casca esférica isolante, com raio interno $r_1=4\;cm$ e raio externo $r_2=6\;cm$ e distribuição de carga não uniforme;
• Densidade volumétrica $\rho$ é carga por unidade de volume;
• No caso dessa casca em específico, $\rho=b/r$, $r$ é a distância a partir do centro da casca e $b=3\;\mu C/m^2$.

Item único:

O exercício nos pergunta a carga total da casca esférica. Primeiramente, podemos escrever a carga total $q$ como uma integral de infinitesimais de carga $dq$, ou seja:

$$
q = \int dq\tag{1}
$$

Portanto, precisamos escrever $dq$ em função de parâmetros conhecidos. Como $\rho$ é carga por unidade de volume, $\rho V$ tem unidade de carga, então:

$$
dq = \rho dV = \rho A dr\tag{2}
$$

No qual usamos que um infinitesimal de volume pode ser escrito como a área da superfície multiplicado por um infinitesimal de espessura. Perceba que agora temos tudo em função de $r$ e esse parâmetro nós conhecemos pois temos os raios interno e externo da casca esféricas. Com isso, temos que:

$$
dq = \left(\frac{b}{r}\right)4\pi r^2dr = 4\pi brdr\tag{3}
$$

No qual usamos que $\rho=b/r$ e $A=4\pi r^2$ é a área superficial de uma esfera. Portanto, agora, para encontrarmos a carga total pelo Equação (1), basta integrarmos na espessura da casca, ou seja, de $r_1$ a $r_2$:

$$
q = \int dq = 4\pi b\int_{r_1}^{r_2} rdr = 4\pi b \left(\frac{r_2^2-r_1^2}{2}\right) \tag{4}
$$

Fazendo $b=3\;\mu C/m^2$, $r_1=0,04\;m$ e $r_2=0,06\;m$, resultamos em:

$$q = 4\pi (3\;\mu C/m^2)\left(\frac{(0,06\;m)^2-(0,04\;m)^2}{2}\right) = 0,038\;\mu C \tag{5}
$$

Portanto,

$$
\boxed{q = 3,8\times10^{-8}\;C}\tag{6}
$$

Tags: casca esférica , densidade de carga, isolante