Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 12: Equilíbrio e elasticidade
Exercício 50
Enunciado:
A Fig. 12-61 mostra um inseto capturado no ponto central do fio de uma teia de aranha. O fio se rompe ao ser submetido a uma tração de $8,2\times10^8\;N/m^2$ e a deformação correspondente é 2,00. Inicialmente, o fio estava na horizontal e tinha um comprimento de 2,00 cm… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Inseto é captura no ponto médio de uma teia de aranha;
- O fio se rompe com uma tração de $T_f=8,2\times10^8\;N/m^2$, deformação $\Delta L/L_0=2$ e sem variação de volume;
- Inicialmente, o fio estava na horizontal, comprimento $L_0=2\;cm$ e área de seção reta de $A_0=8\times10^{-12}\;m^2$.
Item único:
O exercício nos diz que o peso do inseto coloca o fio na iminência de se romper. Se isso acontece, temos que calcular a massa do inseto. Quando o fio está na iminência de se romper, o comprimento do fio é:
$$
L = L_0+\Delta L = L_0(1+\Delta L/L_0) = L_0(1+2) = 3L_0 \tag{1}
$$
No qual usamos o fato da deformação ser 2 e $L_0$ é conhecido. Agora, precisamos escrever as equações de equilíbrio do sistema, para isso, o diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 1.
Figura 1: Diagrama de forças do exercío.
Através da figura, podemos ver que a condição de equilíbrio é dada por:
$$
mg = 2Tsen\theta \Longrightarrow m = \frac{2Tsen\theta}{g} \tag{2}
$$
No qual já isolamos a massa, que é perguntado no exercício. Portanto, basta escrevermos a tração $T$ e o $sen\theta$ em função de parâmetros conhecidos do problema. Pelo desenho, podemos ver que:
$$
sen\theta = \frac{\Delta y}{L/2} \tag{3}
$$
E por Pitágoras, podemos escrever $\Delta y$ como:
$$
\Delta y = \sqrt{(L/2)^2-(L_0/2)^2} = \sqrt{(3L_0/2)^2-(L_0/2)^2} = \sqrt{(9L_0^2/4)-(L_0^2/4)} = \sqrt{2}L_0 \tag{4}
$$
E com isso, voltando na Equação (3) e usando a Equação (1), conseguimos escrever $sen\theta$ em função de fatores conhecidos.
$$
sen\theta = \frac{2\sqrt{2}L_0}{L} = \frac{2\sqrt{2}L_0}{3L_0} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \tag{5}
$$
Para reescrevermos a tração, perceba que a tração do fio dada no exercício ($T_f$) é dada em termos de força por área. Portanto, podemos escrever a tração $T$ como sendo:
$$
T = AT_f \tag{6}
$$
Podemos relacionar essa área $A$ na iminência do fio romper com a área inicial $A_0$ usando o fato de que o volume do fio não muda antes e depois do inseto ser pego, ou seja,
$$
V_0 = V \Longrightarrow A_0L_0 = AL \tag{7}
$$
Isolando $A$ e usando a Equação (1):
$$
A = \frac{A_0L_0}{L} = \frac{A_0L_0}{3L_0} = \frac{A_0}{3} \tag{8}
$$
Colocando esse resultado na Equação (6) e já substituindo na Equação (2),temos:
$$
m = \frac{2A_0T_f}{3g}\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}A_0T_f}{9g} \tag{9}
$$
Agora, temos a massa em função de parâmetros conhecidos, substituindo os valores numéricos:
$$
m = \frac{4\sqrt{2}(8\times10^{-12}\;m^2)(8,2\times10^8\;N/m^2)}{9(9,8\;m/s^2)} \tag{10}
$$
O que resulta:
$$
\boxed{m=4,21\times10^{-4}\;kg=0,421\;g} \tag{11}
$$
