Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 20: Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Exercício 20:
Enunciado:
Expande-se 1,00 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente a $5,00 \;kPa$ e 600 K do volume inicial $Vi = 1,00 \;m^3$ para o volume final $V_f = 2,00 \; m^3$. Em qualquer instante durante a expansão, a pressão $p$ e o volume $V$ do gás estão relacionados por… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pede a pressão final do gás. Como temos a relação entre volume e pressão do gás e sabemos o volume final, conseguimos calcular a pressão final:
$$
\boxed{p_f = p(V_f) = (5\;kPa)e^{(V_i-V_f)/a} = (5\;kPa)e^{(1\;m^3-2\;m^3)/1\;m^3} = 1,84\;kPa}
\tag{1}$$
Item (b):
Agora, queremos calcular a temperatura final $T_f$ do gás. Para um gás ideal, sabemos que:
$$
\frac{p_iV_i}{T_i} = \frac{p_fV_f}{T_f}
\tag{2}$$
Isolando a temperatura final que queremos calcular e substituindo os valores das outras grandezas, temos:
$$
\boxed{T_f = T_i\frac{p_fV_f}{p_iV_i} = (600\;K)\frac{(1,84\;kPa)(2\;m^3)}{(5\;kPa)(1\;m^3)} = 441\;K}
\tag{3}$$
Perceba que para o volume final, usamos o resultado do item anterior.
Item (c):
Nesse item, o exercício nos pergunta o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Podemos escrever o trabalho realizado por um gás como sendo:
$$
W = \int_i^f pdV
\tag{4}$$
Como o processo tem variação de volume e sabemos a expressão da pressão em função do volume, dado pelo enunciado, basta substituirmos e fazermos a integral:
$$W = \int_{V_i}^{V_f} (5\;kPa)e^{(V_i-V)/a}dV = (5\;kPa)e^{V_i/a} \left[-ae^{-V/a}\right]_{V_i}^{V_f} \tag{5}$$
Usando os volumes finais e iniciais dados pelo exercício, temos:
$$
\boxed{W = (5\;kPa)e^{1\;m^3/1\;m^3}(1\;m^3)\left[e^{-1}-e^{-2}\right] = 3,16\;kJ} \tag{6}$$
Item (d):
Agora, o exercício nos pergunta qual o valor de $\Delta S$ para a expansão. Como sugerido no exercício, podemos usar dois processos reversíveis simples para determiná-lo. Basicamente, isso quer dizer que se assumirmos processos reversíveis e utilizarmos a primeira Lei da Termodinâmica, chegamos no resultado de que a variação de entropia depende apenas dos estados iniciais e finais do sistema, como dado na Equação 20-4 do livro e discutido nessa sessão. Portanto:
$$
\Delta S = nR\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)+nC_V\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)
\tag{7}$$
Usando também a Equação 19-43 do livro, podemos escrever $c_V$ como:
$$
c_V = \frac{3}{2}R
\tag{8}$$
Assim, temos:
$$
\boxed{\Delta S = nR\left[\ln\left(\frac{2\;m^3}{1\;m^3}\right)+\frac{3}{2}\ln \left(\frac{441\;K}{600\;K}\right) \right] = 1\;mol\left(8,31\;\frac{J}{molK}\right)(0,69-0,46) = 1,91\;J/K}
\tag{9}$$
