Exercício 19, Capítulo 1, Fundamentos de Física Vol. 1: praia

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Capítulo 1: Medição

Exercício 19

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Ao se levantar, a distância deslocada dos olhos é de 1,70 m;
• Tempo indicado pelo cronômetro foi de 11,1 s.

Item Único:

Para o exercício ficar mais claro, abaixo temos o desenho proveniente da descrição do enunciado. O sol mais acima é visto pela pessoa quando sentada, enquanto que o sol mais abaixo é visto pela pessoa em pé. Perceba que forma, portanto, um triângulo retângulo no qual a hipotenusa é a soma do raio da Terra com a altura da pessoa.

Esquema mostrando a descrição do enunciado.

Através do Teorema de Pitágoras, temos:
$$
(r+h)^{2}=d^{2}+r^{2} \tag{1}
$$

$$
r^{2}+h^{2}+2hr=d^{2}+r^{2}\tag{2}
$$

$$
d^{2}=h^{2}+2hr \tag{3}
$$

Como $h=1,7m <<r$, ou seja, o a altura da pessoa é aproximadamente 6 ordens de grandeza menor do que o raio da Terra, o termo $h^{2}$ pode ser desprezado uma vez que pouco vai contribuir com o resultado final de $r$. Assim:

$$
d^{2}=2hr \tag{4}$$

Mas, sabendo que $\tan\theta$ é dado por cateto oposto pelo cateto adjacente, através da Figura 1 podemos escrever que:

$$
d=r\cdot\tan\theta \tag{5}
$$

Substituindo em (4), temos:

$$
r^{2}\tan^{2}\theta=2hr \tag{6}
$$

$$
r = \frac{2h}{\tan^{2}\theta} \tag{7}
$$

Podemos calcular o ângulo $\theta$ via o tempo medido pelo cronômetro sabendo que a Terra leva 24h para completar 360$^{\circ}$.

$$
\theta=\frac{360^{\circ}}{24h}\times\frac{1h}{2600s}\times11,1s=0,04625^{\circ} \tag{8}
$$

Substituindo em (7), temos:

$$
r = \frac{2h}{\tan^{2}(0,04625)} \tag{9}
$$

$$
r = \frac{2\times 1,7}{(8,0721\times 10^{-4})^{2}} \tag{10}
$$

Finalmente, o raio da Terra é calculado como sendo:
$$
\boxed{r = 5,2\times 10^{6}\;m}
$$