Exercício 57, Capítulo 10, Fundamentos de Física Vol. 1: polia

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 10: Rotação

Exercício 57:

Enunciado:

Uma polia, com um momento de inércia de $1,0 \times 10^{−3} \; kg \cdot m^{2}$ em relação ao eixo e um raio de 10 cm, é submetida a uma força aplicada tangencialmente à borda. O módulo da força varia no tempo de acordo com a equação $F = 0,50t + 0,30t^2$, com $F$ em newtons e $t$ em segundos. A polia está inicialmente em repouso. (a) Qual é a aceleração… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Devemos calcular a aceleração angular $\alpha$ da polia em $t=3\;s$. Podemos relacionar aceleração angular com momento de inércia pela equação:

$$
\alpha(t) = \frac{\tau(t)}{I} = \frac{F(t)r}{I}
\tag{1}$$

No qual escrevemos o torque como sendo força vezes raio uma vez que a força é tangencial. Substituindo $F(t)$, $I$ e $r$ em metros:

$$
\alpha(t) = \frac{(0,5t+0,3t^2)(0,1)}{1\times10^{-3}} = 50t+30t^2
\tag{2}$$

em unidade do SI ($rad/s^2$).

Para o tempo $t=3\;s$, temos:

$$
\boxed{\alpha (3\;s) = 50(3\;s) + 30(3\;s)^2 = 4,2\times10^2\;rad/s^2}
\tag{3}$$

Item (b):

Nesse item, devemos calcular a velocidade angular da polia $\omega(3\;s)$ no tempo $t=3\;s$. Podemos encontrar a velocidade angular integrando a aceleração angular no tempo:

$$
\omega(t) = \int \alpha dt = \int (50t+30t^2)dt = \frac{50}{2}t^2 + \frac{30}{3}t^3 + c
\tag{4}$$

Como o exercício diz que a polia está inicialmente em repouso, sua velocidade angular no tempo 0 é zero:

$$
\omega(0) = c = 0 \Longrightarrow \omega(t) = 25t^2+10t^3
\tag{5}$$

Calculando $\omega$ no tempo $t=3\;s$, ficamos com:

$$
\boxed{\omega(3\;s) = 25(3\;s)^2+10(3\;s)^3 = 5\times10^2\;rad/s}
\tag{6}$$