Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 17
Enunciado:
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por $x(t)=9,75+1,5t^{3}$, em que $x$ está em centímetros e $t$ em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Posição da partícula e dado por $x(t)=9,75+1,5t^{3}$;
- x em $cm$ e tempo em $s$.
Item (a):
Nos é pedido a velocidade média entre $2s$ e $3s$. Para isso, basta calcularmos a posição nesses dois tempos:
$$
x(2)=9,75+1,5\cdot 2^{3}=21,75\;cm
$$
$$
x(3)=9,75+1,5\cdot 3^{3}=50,25\;cm
$$
Com isso, temos que a velocidade média é de:
$$
\boxed{v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{50,25-21,75}{3-2}=28,5\;cm/s}
$$
Item (b):
A velocidade instantânea é dado por:
$$
v(t)=\frac{dx}{dt}=3\cdot 1,5\cdot t^{2}
$$
Calculando a velocidade instantânea em $t=2\;s$, temos:
$$
\boxed{v(2,5\;s)=3\cdot 1,5\cdot 2^{2}=18\;cm/s}
$$
Item (c):
Velocidade instantânea em $t=3s$:
$$
\boxed{v(3\;s)=3\cdot 1,5\cdot 3^{2}=40,5\;cm/s}
$$
Item (d):
Velocidade instantânea em $t=2,5\;s$:
$$
\boxed{v(2,5\;s)=3\cdot 1,5\cdot 2,5^{2}=28,1\;cm/s}
$$
Item (e):
Para encontrarmos a metade da distância ($d_{m}$) entre os tempos $t=2s$ e $t=3s$, primeiramente, precisamos calcular a posição da partícula nesses dois tempos, fazermos a média e somar com a posição inicial:
$$
d_{m}=x(2\;s)+\frac{x(3\;s)-x(2\;s)}{2} = 21,75+14,25=36\;cm
$$
Agora, precisamos encontrar o tempo correspondente a essa posição, fazendo:
$$
x(t)=d_{m}=9,75+1,5t^{3}=36
$$
Isolando $t$, temos:
$$
t^{3}=\frac{36-9,75}{1,5}=17,5 \xrightarrow{} t=\sqrt[3]{17,5} = 2,6\;s
$$
Finalmente, utilizando a equação (4), calculamos a velocidade instantânea:
$$
\boxed{v(2,6\;s)=3\cdot 1,5\cdot 2,6^{2} = 30,3\;cm/s}
$$
Item (f):
Gráfico que descreve a equação do enunciado. Eixo vertical (x(cm)). Eixo horizontal (t(s))
