Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 13
Enunciado:
Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade escalar média… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a $55\;km/h$ e a outra metade a $90\;km/h$;
- Na volta, você viaja metade da distância a $55\;km/h$ e outra metade a $90\;km/h$.
Item (a):
O exercício nos pergunta a velocidade escalar média na viagem de ida, do Rio a SP. Se o tempo total da viagem de ida é $T$ e a distância total é $D$, a velocidade escalar média é dada por $s_{med} = D/T$.
A distância pode ser medida como sendo a velocidade da primeira metade vezes a duração de tempo dessa parte ($T/2$) mais a velocidade da segunda metade da distância vezes o tempo dessa metade ($T/2$):
$$
s_{med1} = \frac{(55\;km/h)(\frac{T}{2})(90\;km/h)(\frac{T}{2})}{T} = \frac{T[(55\;km/h)/2+(90\;km/h)/2]}{T}
$$
Perceba que os tempos se cancelam e temos com isso:
$$
\boxed{s_{med1}=73\;km/h}
$$
Item (b):
Agora, devemos calcular a mesma coisa pra viagem de volta, de SP ao Rio. Veja que para o caminho de volta temos duas vezes para cada metade da \textbf{distância} e não mais do tempo da viagem. Então agora, podemos reescrever o tempo $T$. Por exemplo, na primeira metade da distância ($D/2$) do trajeto a velocidade é $55\;km/h$ e com isso o tempo será:
$$
T = \frac{D}{v} = \frac{D/2}{55\;km/h}
$$
Aplicando isso no trajeto de volta todo temos:
$$
s_{med2} = \frac{D}{T} = \frac{D}{\frac{D/2}{55\;km/h}+\frac{D/2}{90\;km/h}} = \frac{1}{\frac{1}{110\;km/h}+\frac{1}{180\;km/h}}
$$
O que resulta em:
$$
\boxed{s_{med2} = 68\;km/h}
$$
Item (c):
Para a viagem inteira, a velocidade escalar média será o mesmo problema do item anterior mas dessa vez a distância será $2D$ e as velocidades serão as velocidades escalares médias da ida (item (a)) e da volta (item (b)), ou seja:
$$
s_{med} = \frac{2D}{\frac{D}{72\;km/h}+\frac{D}{68\;km/h}} = \frac{2}{\frac{1}{72\;km/h}+\frac{1}{68\;km/h}}
$$
O que resulta em:
$$
\boxed{s_{med}=70\;km/h}
$$
Item (d):
O exercício nos pergunta a velocidade média na viagem toda (perceba que é diferente da velocidade escalar média). A velocidade média leva em conta as posições finais e iniciais apenas e não a distância total deslocada. Como a viagem volta para o ponto de partida, a diferença entre a posição final e inicial é zero e portanto:
$$
\boxed{v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = 0}
$$
Item (e):
Aqui, devemos fazer um gráfico da posição ($x$) em função do tempo ($t$) para o item (a) supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de $x$. Também devemos mostrar de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. O item (a) diz respeito a viagem de ida portanto, no gráfico de (x,t) teremos uma reta inclinada indo até o tempo $T/2$. Depois desse tempo, teremos outra reta até o tempo $T$ com maior inclinação devido ao aumento da velocidade para 90 km/h na segunda metade do trajeto. O final do gráfico será no ponto (T,D). O gráfico está mostrado na imagem abaixo:
Figura 1: Gráfico da posição em função do tempo do percurso de ida.
O exercício nos pergunta como poderíamos encontrar a velocidade escalar média através do gráfico. Veja que a velocidade média será a inclinação da reta que liga o início da viagem (0,0) com o final (T,D). Perceba essa inclinação está justamente na média das inclinações das retas da primeira e segunda metade do percurso.
