Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 19: A Teoria Cinética dos Gases
Exercício 16:
Enunciado:
Uma bolha de ar com 20 $cm^3$ de volume está no fundo de um lago com 40 m de profundidade, em que a temperatura é 4,0°C. A bolha sobe até a superfície, que está à temperatura de 20°C. Considere a temperatura da bolha como a mesma que a da água em volta. Qual é o volume da bolha no… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pergunta qual é o volume da bolha no momento em que ela chega a superfície, o qual vamos chamar de $V_2$. Se considerarmos que o interior da bolha tem uma pressão $p_1$, podemos escrever que:
$$
p_1V_1 = nRT_1
\tag{1}$$
A pressão dentro da bolha deve ser igual a pressão da água ao redor dela. De outra maneira, a bolha se deformaria e até estouraria. A pressão da água ao redor da bolha é dada por:
$$
p_1 = p_0 + \rho g d
\tag{2}$$
No qual $p_0$ é a pressão atmosférica e $\rho$ é a massa específica da água. Substituindo a Equação (2) na Equação (1) e isolando $n$, ficamos com:
$$
n = (p_0 + \rho g d)\frac{V_1}{RT_1}
\tag{3}$$
Já na superfície do lago, a pressão da bolha será a pressão atmosférica $p_0$ e ela terá um volume $V_2$ que queremos calcular dado por:
$$
V_2 = \frac{nRT_2}{p_0}
\tag{4}$$
Agora, podemos substituir o valor de $n$ pela Equação (3), o que nos dará $V_2$ como função apenas de valores conhecidos:
$$
V_2 = \frac{(p_0 + \rho g d)}{p_0}\frac{T_2}{T_1}V_1
\tag{5}$$
Agora, substituindo os valores dado pelo exercício (lembrando de usar a temperatura em K, ou seja, $T(K)=T(^{\circ}C)+273K$), e usando que a massa específica da água é $\rho=10^3\;kg/m^3$ e a pressão atmosférica é dada por $p_0=10^5\;Pa$, resultamos em:
$$
\boxed{V_2 = \frac{10^5\;Pa + (10^3\;kg/m^3)(9,8\;m/s^2)(40\;m)}{10^5\;Pa}\left(\frac{293\;K}{277\;K}\right)(20\;cm^3) = 100\;cm^3}
\tag{6}$$
