Exercício 16, Capítulo 13, Fundamentos de Física Vol. 2: barra homogênea

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 2

Capítulo 13: Gravitação

Exercício 16

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Partícula de massa $m_1=0,67\;kg$ está a uma distância $d=23\;cm$ de uma das extremidades de uma barra;
• A barra é homogênea, tem comprimento $L=30\;cm$ e massa $M=5\;kg$ e está no mesmo eixo da partícula.

Item único:

O exercício nos pergunta qual o módulo da força gravitacional que a barra exerce sobre a partícula. A Figura 13-40 do livro exemplifica a situação. Como a barra não tem simetria esférica, temos que tratar a barra como infinitesimais de massa e integrá-los. Se considerarmos um infinitesimal de massa $dm$ e largura $dr$ a uma distância $r$ da partícula, o infinitesimal de força gravitacional que a partícula irá sentir devido a $dm$ será:

$$dF = \frac{Gm_1dm}{r^2} \tag{1}
$$

Como a barra é homogênea, podemos escrever $dm$ como sendo uma densidade linear $(M/L)$ vezes um infinitesimal de distância $dr$:

$$dm = \frac{M}{L}dr \tag{2}
$$

Que substituindo na Equação (1), resulta:

$$dF = \frac{Gm_1(M/L)dr}{r^2} \tag{3}
$$

Agora, podemos integrar essa expressão para calcular a força gravitacional para toda a barra. Como a força é sentida pela partícula, o limite de integração deve começar em $d$ e ir até $d+L$, ou seja, vamos integrar no comprimento da barra mas levando em consideração que a partícula está a uma distância $d$ da barra como dito no enunciado:

$$F = \int dF = \frac{Gm_1M}{L}\int_d^{d+L}\frac{dr}{r^2} = -\frac{Gm_1M}{L}\left(\frac{1}{d+L}-\frac{1}{d}\right) \tag{4}
$$

Simplificando, ficamos com:

$$F = -\frac{Gm_1M}{L}\left(\frac{d-(d+L)}{d(d+L)}\right) = \frac{Gm_1M}{d(d+L)} \tag{5}
$$

Portanto, substituindo os valores fornecidos no enunciado:

$$\boxed{F = \frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/kg\cdot s^2)(0,67\;kg)(5\;kg)}{(0,23\;m)(3\;m+0,23\;m)} = 3\times10^{-10}\;N} \tag{6}
$$