Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 13: Gravitação
Exercício 15
Enunciado:
Três dimensões. Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas $x, y, z$. A partícula A, na origem, tem massa $m_A$. A partícula B, nas coordenadas($2d,1d,2d$), tem massa $2 m_A$; e a partícula C, nas coordenadas… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas $x, y, z$;
- Partícula A está na origem e tem massa $m_A$;
- Partícula B está em ($2d,1d,2d$) e tem massa $m_B=2m_A$;
- Partícula C está em ($-d,2d,-3d$) e tem massa $m_C=3m_A$;
- Uma quarta partícula, D com massa $m_D=4m_A$ pode ser colocado nas proximidades das outras partículas.
Item (a):
Nesse item, devemos calcular, em termos de $d$, a coordenada em $x$ para que a força gravitacional sentido pela partícula A devido as partículas B, C e D seja nula. Como A está na origem, a distância entre as partículas B, C e D de A pode ser calculada como pelo Teorema de Pitágoras em 3 dimensões:
$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \tag{1}
$$
A projeção de uma força $\vec{F}$ em uma de suas coordenadas, digamos $x$, pode ser escrita como:
$$\vec{F} = |\vec{F}|\cos{\theta} = |\vec{F}|\frac{cat\;adj}{hipot} = |\vec{F}|\frac{x}{r} \tag{2}
$$
A força gravitacional na direção $x$, por exemplo, entre duas partículas quaisquer, digamos da força exercida pela partícula B sobre a partícula A, será dada por:
$$F_{AB}^x = \frac{Gm_Am_Bx_B}{r_B^3} = \frac{Gm_A(2m_A)(2d)}{\left(\sqrt{(2d)^2+d^2+(2d)^2}\right)^3} = \frac{4Gm_A^2}{27d^2} \tag{3}
$$
No qual usamos o resultado da projeção de uma força da Equação (2). Então a Equação (3) nos diz a componente em $x$ da força gravitacional sentida por A devido a B. Podemos fazer o mesmo processo para calcular a força em A devido a partícula C:
$$F_{AC}^x = \frac{Gm_Am_Cx_C}{r_C^3} = \frac{Gm_A(3m_A)(-d)}{\left(\sqrt{(-d)^2+(2d)^2+(-3d)^2}\right)^3} = -\frac{3\sqrt{14}Gm_A^2}{196d^2} \tag{4}
$$
Ainda temos que calcular as componentes $y$ e $z$, pois para calcularmos a distância em $x$, temos que saber o módulo da distância da partícula D em relação a A ($r_D$) dada pela Equação (1). Portanto, fazendo para as outras direções, teremos:
$$F_{AB}^y = \frac{Gm_Am_By_B}{r_B^3} = \frac{Gm_A(2m_A)(d)}{\left(\sqrt{(2d)^2+d^2+(2d)^2}\right)^3} = \frac{2Gm_A^2}{27d^2} \tag{5}
$$
$$F_{AC}^y = \frac{Gm_Am_Cy_C}{r_C^3} = \frac{Gm_A(3m_A)(2d)}{\left(\sqrt{(-d)^2+(2d)^2+(-3d)^2}\right)^3} = \frac{3\sqrt{14}Gm_A^2}{98d^2} \tag{6}
$$
Da mesma forma:
$$F_{AB}^z = \frac{4Gm_A^2}{27d^2} \tag{7}
$$
$$F_{AC}^z = -\frac{9\sqrt{14}Gm_A^2}{196d^2} \tag{8}
$$
Para que D esteja em uma posição que a força em A seja nula, a soma vetorial das forças gravitacionais em A deve ser zero. Portanto, vetorialmente, a força devido a partícula D deve ser igual a soma das forças devido a B e C, ou seja:
$$F_{AD}^2 = (F_{AB} + F_{AC})^2 \tag{9}
$$
Portanto, somando termo a termo:
$$\left(\frac{Gm_Am_D}{r_D^2}\right)^2 = \left[\left(\frac{4}{27}-\frac{3\sqrt{14}}{196}\right)^2+\left(\frac{2}{27}+\frac{3\sqrt{14}}{98}\right)^2+\left(\frac{4}{27}-\frac{9\sqrt{14}}{196}\right)^2\right]\left(\frac{Gm_A^2}{d^2}\right)^2 \tag{10}
$$
O que resulta, fazendo $m_D=4m_A$:
$$\left(\frac{4Gm_A^2}{r_D^2}\right)^2=0,444\left(\frac{Gm_A^2}{d^2}\right)^2 \tag{11}
$$
Simplificando:
$$\frac{16}{r_D^4}=\frac{0,444}{d^4} \tag{12}
$$
Isolando $r_D$, temos:
$$r_D = 4,357d \tag{13}
$$
Agora sim, podemos calcular o valor de $x_D$, que é a pergunta desse item. Para isso, basta considerarmos separadamente as componentes da força gravitacional. A força em $x$ deve ser nula quando a partícula D está inserida. Então a força gravitacional de D deve ser contrária a soma das forças gravitacionais de B e C:
$$F_{AD}^x = – (F_{AB}^x+F_{AC}^x) \tag{14}
$$
$$\frac{Gm_Am_Dx}{r_D^3} = -\left(\frac{4}{27}-\frac{3\sqrt{14}}{196}\right)\frac{Gm_A^2}{d^2} = -0,091\frac{Gm_A^2}{d^2}\tag{15}
$$
Isolando $x$, temos:
$$\boxed{x_D = -0,091\frac{m_Ar_D^3}{(4m_A)d^2} = -0,091\frac{(4,357d)^3}{4d^2} = -1,88d} \tag{16}
$$
No qual usamos que $m_D = 4m_A$ e que $r_D = 4,357d$ dada pela Equação (13).
Item (b):
Agora, devemos calcular a componente $y$ da posição da partícula D ($y_D$). Agora que conhecemos $r_D$, basta fazermos o mesmo processo do item anterior da Equação 14 adiante, ou seja:
$$F_{AD}^y = -(F_{AB}^y+F_{AC}^y) \tag{17}
$$
$$\frac{Gm_Am_Dy}{r_D^3} = -\left(\frac{2}{27}+\frac{3\sqrt{14}}{98}\right)\frac{Gm_A^2}{d^2} = -0,188\frac{Gm_A^2}{d^2} \tag{18}
$$
Isolando $y$, temos:
$$\boxed{y_D = -0,188\frac{m_Ar_D^3}{(4m_A)d^2} = -0,188\frac{(4,357d)^3}{4d^2} = -3,89d} \tag{19}
$$
No qual usamos que $m_D = 4m_A$ e que $r_D = 4,357d$ dada pela Equação (13).
Item (c):
Agora, devemos calcular a componente $z$ da posição da partícula D ($y_D$). Novamente, fazendo o mesmo processo do item anterior temos:
$$F_{AD}^z = -(F_{AB}^z+F_{AC}^z) \tag{20}
$$
$$\frac{Gm_Am_Dz}{r_D^3} = -\left(\frac{4}{27}-\frac{9\sqrt{14}}{196}\right)\frac{Gm_A^2}{d^2} = 0,024\frac{Gm_A^2}{d^2} \tag{21}
$$
Isolando $z$, temos:
$$\boxed{z_D = 0,024\frac{m_Ar_D^3}{(4m_A)d^2} = 0,024\frac{(4,357d)^3}{4d^2} = 0,49d} \tag{22}
$$
No qual usamos que $m_D = 4m_A$ e que $r_D = 4,357d$ dada pela Equação (13).
Portanto, as coordenadas da partícula D são ($-1,88d;\;-3,89d;\;0,49d$).
