Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 13: Gravitação
Exercício 58
Enunciado:
Às vezes, a existência de um planeta nas vizinhanças de uma estrela pode ser deduzida a partir da observação do movimento da estrela. Enquanto a estrela e o planeta giram em torno do centro de massa do sistema estrela-planeta, a estrela se aproxima e se afasta de nós com a chamada velocidade ao longo da linha de visada, um movimento que pode ser detectado. A Fig. 13-49 mostra um gráfico da velocidade ao longo da linha de visada em função do tempo para a estrela 14 Herculis…. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Gráfico da velocidade ao longo da linha de visada em função do tempo da estrela 14 Herculis;
- A massa dessa estrela é de $m_1=0,9M_S$, $M_S$ sendo a massa do Sol.
Item (a):
A Figura 13-49 do livro mostra um gráfico da velocidade ao longo da linha de visada como função do tempo e mostra que um período dessa oscilação da velocidade é de $T=1500\;dias$. Nesse item, devemos determinar a massa do planeta da vizinhança dessa estrela como função de $M_J$, a massa de Júpiter. Basicamente, o que o exercício nos diz é que dependendo da velocidade que vemos de uma estrela aqui da Terra como função do tempo (período), podemos inferir que há um planeta orbitando tal estrela. O movimento da estrela+planeta pode ser descrito como órbitas ao redor do centro de massa desse sistema, em que a distância da estrela e do exoplaneta em relação ao centro de massa é $R_1$ e $R_2$, respectivamente.
A força centrípeta que a estrela irá sentir devido a presença gravitacional do planeta será justamente a força gravitacional entre esses dois corpos, portanto, podemos escrever, fazendo $m_1$ é a massa da estrela e $m_2$ a massa do planeta que queremos determinar:
$$\frac{Gm_1m_2}{(R_1+R_2)^2} = \frac{m_1v^2}{R_1} \tag{1}
$$
Onde usamos que $R_1+R_2$ é a distância entre a estrela e o planeta e $v$ é a velocidade radial da estrela. Geralmente, a distância do planeta ao centro de massa é muito maior do que a distância da estrela ao centro de massa justamente porque a massa da estrela é muito maior, levando o centro de massa do sistema para próximo dela, então $R_2>>R_1$, levando a Equação (1) para:
$$\frac{Gm_2}{R_2^2} = \frac{v^2}{R_1} \tag{2}
$$
Através da terceira lei de Newton aplicado a um problema de dois corpos, podemos escrever a seguinte relação:
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{m_1}{m_2} \longrightarrow R_1 = \frac{m_2}{m_1}R_2 \tag{3}
$$
Substituindo esse resultado na Equação (2) e isolando $R_2$, temos:
$$R_2 = \frac{Gm_2^2}{m_1v^2} \tag{4}
$$
Agora, iremos usar a terceira lei de Kepler para relacionarmos o período ($T$) que é dado pelo gráfico dado no exercício. O parâmetro $a$ da lei de Kepler nesse caso será $R_2$ que é a distância do planeta ao centro de massa. Com isso, temos que:
$$\frac{T^2}{R_2^3} = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)} \tag{5}
$$
Como a massa do planeta é muito menor que da estrela, podemos escrever que $m_1+m_2 = m_1$. Fazendo isso e isolando $R_2$ ficamos com:
$$R_2 = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2/3} G^{1/3}m_1^{1/3} \tag{6}
$$
Substituindo esse resultado na Equação (4) e isolando $m_2$, temos:
$$m_2 = m_1^{2/3}v\left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{1/3} \tag{7}
$$
Fazendo $m_1=0,9M_S=1,8\times10^{30}\;kg$, $T=1500\;dias=1,3\times10^8\;s$ e $v=70\;m/s$ como mostra o máximo do gráfico no eixo $y$, temos:
$$m_2 = (1,8\times10^{30}\;kg)^{2/3}(70\;m/s)\left(\frac{1,3\times10^8\;s}{2\pi (6,67\times10^{-11}\;m^3kg^{-1}s^{-2})}\right)^{1/3} = 7\times10^{27}\;kg \tag{8}
$$
Perceba que as dimensões dão exatamente $kg$, que é a grandeza de massa, o que já é um indicativo de que estamos no caminho certo. Como o exercício quer $m_2$ em termos da massa de Júpiter que pode ser encontrada na Tabela 13-2 do capítulo. $M_J=1,9\times10^{27}\;kg$, o que nos resulta em:
$$\boxed{m_2 = \frac{7\times10^{27}\;kg}{1,9\times10^{27}\;kg} = 3,7\;M_J} \tag{9}
$$
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pede o raio da órbita do planeta em unidades do raio da órbita da Terra ($r_T$). Para isso, voltamos na Equação (5), lembrando de simplificar a soma das massas como sendo apenas a massa da estrela e isolarmos $R_2$ que é o pedido nesse item:
$$R_2 = T^{2/3}\left(\frac{Gm_1}{4\pi^2}\right)^{1/3} \tag{10}
$$
Substituindo os valores, temos:
$$R_2 = (1,3\times10^8\;s)^{2/3}\left(\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3kg^{-1}s^{-2})(1,8\times10^{30}\;kg)}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 3,72\times10^{11}\;m \tag{11}
$$
Agora, dividimos esse valor pelo raio da órbita da Terra, $r_T=1,5\times10^{11}\;m$ para chegarmos ao resultado final:
$$\boxed{R_2=\frac{3,72\times10^{11}\;m}{1,5\times10^{11}\;m} = 2,5\;r_T} \tag{12}
$$
