Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular
Exercício 15:
Enunciado:
Um jogador de boliche arremessa uma bola de raio $R = 11 \; cm$ ao longo de uma pista. A bola (Fig. 11-38) desliza na pista com uma velocidade inicial $v_{CM} = 8,5 \; m/s$ e velocidade angular inicial $\omega_{0} = 0$. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é 0,21. A força de atrito cinético $\vec{f}_k$ que age sobre a bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade $v_{CM}$ diminui o suficiente e a velocidade angular $\omega$ aumenta o suficiente, a bola para de deslizar e passa a rolar suavemente. (a) Qual é o valor de $v_{CM}$ em termos de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos calcular $v_{CM}$ em termos de $\omega$ nesse instante em que a bola passa de deslizamento para rolagem. A Figura 11-38 ilustra a força de atrito e a velocidade atuando na bola. Vamos definir que o sentido de rotação anti-horário e movimentos lineares para a direita como positivos. No momento em que a bola passa a rolar sem deslizar, podemos escrever que:
$$
\boxed{v_{CM} = -R\omega = -(0,11\;m)\omega}
\tag{1}$$
O sinal de menos dá conta de que a velocidade do centro de massa é positiva pois a bola está indo para a direita e $\omega$ é negativo pois a rolagem da bola tem que ser horária para que ela vá para a direita e a gente definiu o sentido anti-horário como positivo.
Item (b):
Agora, queremos a aceleração linear da bola durante o deslizamento. Podemos pensar esse item como um balanceamento de forças. A força devido a aceleração do centro de massa ($ma_{CM}$) será igualada com a força de atrito ($-\mu_kN$), no qual o sinal negativo da força de atrito vem do fato que ela aponta para a esquerda, então, podemos escrever:
$$
ma_{CM} = -\mu_k N = -\mu_k mg
\tag{2}$$
O que nos dá uma aceleração de:
$$
\boxed{a_{CM} = -\mu_kg = – (0,21)(9,8\;m/s^2) = -2,1\;m/s^2}
\tag{3}$$
Perceba que a aceleração é negativa, ou seja, a velocidade está diminuindo conforme o tempo passa.
Item (c):
Agora, queremos a aceleração angular $alpha$ da bola durante o deslizamento. Lembre-se que $alpha$ relaciona o torque é o momento de inércia por:
$$
\alpha = \frac{\tau}{I}
\tag{4}$$
O torque será dado devido a força de atrito, que, em relação ao centro de massa da bola é:
$$
\tau = -\mu_kNR = -\mu_kmgR
\tag{5}$$
Já o momento de inércia, podemos ver da Tabela 10-2 (f) que bala uma esfera homogênea é:
$$
I = \frac{2mR^2}{5}
\tag{6}$$
Substituindo na expressão para $alpha$, ficamos com:
$$
\alpha = \frac{-5\mu_kmgR}{2mR^2} = \frac{-5\mu_kg}{2R}
\tag{7}$$
Substituindo os valores numéricos, ficamos com:
$$
\boxed{\alpha = \frac{-5(0,21)(9,8\;m/s^2)}{2(0,11\;m)} = -47\;rad/s^2}
\tag{8}$$
Veja que a aceleração angular é no sentido horário (sinal negativo), o mesmo sentido da velocidade angular, portanto, a velocidade angular da bola está aumentando com o tempo.
Item (d):
Nos é perguntado por quanto tempo a bola desliza. Enquanto a bola está deslizando, a velocidade do centro de massa da bola diminui de $v_0^{CM}$ para $v_{CM}$ de acordo com:
$$
v_{CM} = v_0^{CM} -\mu_kgt
\tag{9}$$
No qual usamos que o termo de perda de velocidade é devido a aceleração do centro de massa negativo que calculamos na Equação (3) $a_{CM}t = -\mu_kgt$. Por outro lado, o módulo da velocidade angular da bola aumenta de acordo com (lembre que ela vai para valores cada vez mais negativos):
$$
|\omega| = |\alpha| t = \frac{5\mu_kgt}{2R}
\tag{10}$$
Mas, pela Equação (1), temos que $|\omega| = v_{CM}/R$, o que nos dá:
$$
\frac{5\mu_kgt}{2R} = \frac{v_{CM}}{R} \Longrightarrow v_{CM} = \frac{5\mu_kgt}{2}
\tag{11}$$
Substituindo esse valor de velocidade do centro de massa na Equação (9), temos:
$$
\frac{5\mu_kgt}{2} = v_0^{CM} -\mu_kgt
\tag{12}$$
Isolando $t$:
$$
t = \frac{v_0^{CM}}{\mu_kg(5/2+1)}
\tag{13}$$
Substituindo os valores numéricos:
$$
\boxed{t = \frac{8,5\;m/s}{(0,21)(9,8\;m/s^2)(7/2)} = 1,2\;s}
\tag{14}$$
Item (e):
Queremos calcular a distância que a bola desliza. Para isso, podemos utilizar a equação horária de movimento para a distância, basicamente, fazemos isso integrando a Equação (9):
$$
\Delta x = v_0^{CM}t -\frac{1}{2}(\mu_kg)t^2
\tag{15}$$
Substituindo os valores numéricos, temos:
$$
\boxed{\Delta x = (8,5\;m/s)(1,2\;s)-\frac{1}{2}(1,2\;s)^2 = 8,6\;m}
\tag{16}$$
Item (f):
Agora, queremos a velocidade linear da bola quando começa a rolar suavemente. Como já sabemos o tempo que ela desliza antes de começar a rolar, basta utilizarmos a Equação (9) novamente:
$$
\boxed{v_{CM} = v_0^{CM} – \mu_kgt = 8,5\;m/s – 0,21(9,8\;m/s^2)(1,2\;s) = 6,1\;m/s}
\tag{17}$$
