Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular
Exercício 14:
Enunciado:
Na Fig. 11-37, uma bola pequena, maciça, homogênea, é lançada do ponto $P$, rola suavemente em uma superfície horizontal, sobe uma rampa e chega a um platô. Em seguida, deixa o platô horizontalmente para pousar em outra superfície mais abaixo, a uma distância horizontal d da extremidade do platô. As alturas verticais são $h_1 = 5,00 \; cm$ e $h_2 = 1,60 \; cm$. Com que velocidade a bola.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pergunta com que velocidade a bola deve sair do ponto P para pousar em $d=6\;cm$. O esquema do problema pode ser visto na Figura 11-37. Primeiramente, vamos descobrir que velocidade a bola deve ter no platô para que ao cair na superfície mais baixa, chegue ao solo a uma distância $d$ do platô. Para isso, utilizamos a equação de movimento balístico (Eq. 4-22 do livro) em $y$, ou seja, na vertical. A velocidade inicial em $y$ é zero pois a bola estará sobre uma superfície e $y-y_0 = -h_2$ pois a bola está descendo em $y$, o que nos dá:
$$
y-y_0 = v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow -h_2 = -\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow t^2 = \frac{2h_2}{g}
\tag{1}$$
Usando agora a equação de movimento em $x$, podemos encontrar uma expressão para a velocidade da bola no platô para cair a uma distância $d$. A Eq. 4-21 do livro nos dá:
$$
x – x_0 = v_{0x}t \Longrightarrow d = vt
\tag{2}$$
Para simplificar a notação chamamos $v_{0x}$ de $v$. Substituindo a expressão para o tempo encontrado na Equação (1), ficamos com (já elevando a Equação (2) ao quadrado e isolando a velocidade):
$$
v^2 = \frac{d^2g}{2h_2}
\tag{3}$$
Agora que sabemos a velocidade que a bola deve ter no platô, podemos utilizar a conservação de energia mecânica entre o ponto P e o platô para encontrar a velocidade que a bola deve ter no ponto P ($v_P$). Lembrando que a bola é maciça e homogênea, então devemos levar em consideração a energia devido ao momento de inércia da bola. O momento ponto P, teremos apenas a energia cinética da bola devido a velocidade inicial e a energia devido ao momento de inércia. Já no platô, teremos a energia cinética da bola devido a velocidade $v$ calculada, a energia devido ao momento de inércia e a energia potencial gravitacional devido a altura $h_1$, portanto, podemos escrever:
$$
\frac{mv_P^2}{2} + \frac{I_{CM}\omega_P^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{I_{CM}\omega^2}{2} + mgh_1
\tag{4}$$
Da Tabela 10-2 (f), podemos escrever o momento de inércia da bola maciça e homogênea como:
$$
I_{CM}=\frac{2mR^2}{5}
\tag{5}$$
Como o exercício nos disse que a bola rola suavemente, podemos escrever a velocidade angular como função da velocidade linear do centro de massa:
$$
\omega_P = \frac{v_P}{R}
\tag{6}$$
$$
\omega = \frac{v}{R}
\tag{7}$$
Substituindo as Equações (3), (5), (6) e (7) na Equação (4), ficamos com:
$$
\frac{mv_P^2}{2} + \frac{mR^2v_P^2}{5R^2} = \frac{mgd^2}{4h_2} + \frac{mR^2gd^2}{10R^2h_2} + mgh_1
\tag{8}$$
Simplificando as massas e colocando $v_P$ em evidência:
$$
v_P^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \right) = \frac{gd^2}{h_2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{10}\right)+gh_1
\tag{9}$$
Substituindo os valores:
$$
0,7v_P^2 = 0,35\frac{9,8\;m/s^2(0,06\;m)^2}{0,016\;m} + (9,8\;m/s^2)(0,05\;m)
\tag{10}$$
O que nos dá que a velocidade que a bola deve ter no ponto P é:
$$
\boxed{v_P = 1,34\;m/s}
\tag{11}$$
