Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular
Exercício 16:
Enunciado:
Objeto cilíndrico não homogêneo. Na Fig. 11-39, um objeto cilíndrico de massa $M$ e raio $R$ rola suavemente descendo uma rampa, a partir do repouso, e passa para um trecho horizontal da pista. Em seguida, o objeto sai da pista, pousando no solo a uma distância horizontal $d = 0,506 \; m$ do final da pista. A altura inicial do objeto é $H = 0,90 \; m$; a extremidade da pista está a uma altura $h = 0,10 \; m$. O objeto é composto por uma camada cilíndrica externa, homogênea (com uma certa massa específica), e um cilindro central, também homogêneo (com uma massa específica diferente). O momento de inércia do objeto é dado pela expressão… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Devemos determinar o valor de $\beta$. A Figura 11-39 do livro exemplifica a situação. Primeiramente, vamos aplicar a lei da conservação de energia mecânica na rampa, entre as alturas $H$ e $h$. Na altura $H$, só temos energia potencial gravitacional uma vez que o cilindro parte do repouso. Na altura $h$, teremos, além dessa energia, a energia devido ao momento de inércia e a energia cinética. Podemos escrever então:
$$
MgH =\frac{I_{CM}\omega^2}{2} + Mgh + \frac{Mv^2}{2}
\tag{1}$$
Isolando o momento de inércia:
$$
I_{CM} = \frac{2M}{\omega^2}\left(gH-gh-\frac{v^2}{2}\right)
\tag{2}$$
Como nos é dito que o cilindro rola suavemente, podemos dizer que:
$$
\omega = \frac{v}{R}
\tag{3}$$
De modo que a Equação (2) fica (já multiplicando o termo em parênteses pelo termo $2/v^2$):
$$
I_{CM} = MR^2\left(\frac{2g(H-h)}{v^2}-1\right)
\tag{4}$$
Perceba que desse modo, podemos comparar a Equação (4) com o momento de inércia dado pelo exercício $I_{CM}=\beta MR^2$, de modo que, por comparação:
$$
\beta = \frac{2g(H-h)}{v^2}-1
\tag{5}$$
Perceba que não temos o valor da velocidade linear. Essa velocidade é a velocidade do cilindro quando ele está na iminência de cair da rampa. Portanto, podemos calcular sua velocidade através das equações do movimento balístico (Eq. 4-22 do livro) em $y$, ou seja, na vertical. A velocidade inicial em $y$ é zero pois a bola estará sobre uma superfície e $y-y_0 = -h$ pois a bola está descendo em $y$, o que nos dá:
$$
y-y_0 = v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow -h = -\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow t^2 = \frac{2h}{g}
\tag{6}$$
Usando agora a equação de movimento em $x$, podemos encontrar uma expressão para a velocidade da bola no platô para cair a uma distância $d$. A Eq. 4-21 do livro nos dá:
$$
x – x_0 = v_{0x}t \Longrightarrow d = vt
\tag{7}$$
Para simplificar a notação, chamamos $v_{0x}$ de $v$. Substituindo a expressão para o tempo encontrado na Equação (6), ficamos com (já elevando a Equação (7) ao quadrado e isolando a velocidade):
$$
v^2 = \frac{d^2g}{2h}
\tag{8}$$
Agora, podemos substituir essa expressão na Equação (5) para o $\beta$ e com isso temos:
$$
\beta = \frac{4h(H-h)}{d^2}-1
\tag{9}$$
Como todos os termos tem seus valores conhecidos, podemos substituí-los, resultando em:
$$
\boxed{\beta = \frac{4(0,1\;m)(0,9\;m-0,1\;m)}{(0,506\;m)^2}-1 = 0,25}
\tag{10}$$
