Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 14:
Enunciado:
A velocidade inicial de um próton é $\vec{v}_{i}=4\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$; mais tarde, passa a ser $\vec{v}_{f}=-2\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$ (em metros por segundo). Para esses 4,0 s… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Para determinar a aceleração média do próton $\vec{a}_{med}$ na notação de vetores unitários, basta utilizarmos a equação da cinemática para aceleração em forma vetorial:
$$
\vec{a}_{med} = \frac{\vec{v}_{f}-\vec{v}_{i}}{\Delta t}
\tag{1}$$
$$
\boxed{\vec{a}_{med} = \frac{(-2\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}) – (4\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})}{4} = \frac{-6\hat{i}+2\hat{k}}{4} = (-1,5\;m/s^{2})\hat{i}+(0,5\;m/s^{2})\hat{k}}
\tag{2}$$
Perceba que a aceleração média não tem componente na direção y.
Item (b):
O módulo da aceleração média é obtido fazendo o módulo do vetor aceleração média determinado no item (a):
$$
\boxed{\vec{a}_{med} = \sqrt{(-1,5)^{2}+(0,5)^{2}} = 1,6\;m/s^{2}}
\tag{3}$$
Item (c):
Podemos calcular o ângulo entre o eixo x com o vetor aceleração através de trigonometria. Os vetores do problema estão mostrado da figura abaixo:
Vetor $\vec{a}_{med}$ decomposto e o ângulo $\theta$ que procuramos o valor.
Podemos ver que $\theta$ pode ser escrito como 180 graus menos a arc tangente do cateto oposto pelo adjacente do triângulo retângulo formado pelo vetor $\vec{a}$ e suas componentes:
$$
\boxed{\theta = 180 – \arctan \left( \frac{0,5\;m/s^{2}}{1,5\;m/s^{2}} \right) = 162^{\circ}}
\tag{4}$$
No qual consideramos o módulo da componente x. Caso queira levar em conta o sentido (colocando o sinal negativo), então temos que somar com 180 uma vez que o sentido do vetor na arctangente já irá resultar em um resultado negativo.
