Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 19:
Enunciado:
A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal $xy$ é dada por $\vec{a}=(3t\hat{i}+4t\hat{y})$ , em que $a$ está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t = 0, o vetor posição $\vec{r}(t=0)=20\hat{i}+40\hat{j}$ indica a localização da partícula,… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O primeiro item nos pede para determinar o vetor posição no tempo $t=4\;s$ na notação dos vetores unitários. Nós temos apenas a equação da aceleração em função do tempo. Só nos é dado os condições iniciais da velocidade e da posição. Portanto, temos que encontrar as equações para velocidade e posição em função do tempo e para isso, devemos integrar a aceleração. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração:
$$
\vec{v}(t) = \vec{v}(0)+\int_{0}^{t}\vec{a}(t)dt
\tag{1}$$
Temos tanto $\vec{v}(0)$ quando $\vec{a}(t)$, portanto basta substituirmos e fazermos a integral:
$$
\vec{v}(t)=(5\hat{i}+2\hat{j}) + \int_{0}^{t} (3t\hat{i}+4t\hat{j})dt = (5+3t^2/2)\hat{i}+(2+2t^2)\hat{j}
\tag{2}$$
Perceba que já calculamos a integral e somamos com $\vec{v}(0)$, lembrando que fazemos a integral e somamos termo a termo (componente por componente). Agora temos uma equação em função do tempo para a velocidade. Se, dessa vez, integrarmos a velocidade, resultaremos no deslocamento:
$$
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_{0}^{t}\vec{v}(t)dt
\tag{3}$$
Novamente, temos $\vec{v}(t)$ calculado anteriormente e $\vec{r}(0)$ nos foi dado. Então, substituindo os valores temos:
$$
\vec{r}(t)=(20\hat{i}+40\hat{j})+\int_{0}^{t}dt
\tag{4}$$
$$
\vec{r}(t)=(20\hat{i}+40\hat{j})+
\tag{5}$$
Agora, basta somar componentes iguais:
$$
\vec{r}(t)=(20+5t+t^3/2)\hat{i}+(40+2t+2t^3/2)\hat{j}
\tag{6}$$
Com isso temos uma equação em função do tempo para a posição. Esse item nos pede o vetor posição para t=4 s, ou seja, basta substituirmos o tempo:
$$
\vec{r}(t=4\;s) = (20+5(4)+(4)^3/2)\hat{i}+(40+2(4)+2(4)^3/2)\hat{j}
\tag{7}$$
Resultando:
$$
\boxed{\vec{r}(t=4\;s) = (72\;m)\hat{i}+(90,7\;m)\hat{j}}
\tag{8}$$
Item (b):
Nesse item, devemos determinar o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo. Lembrando que a direção do movimento é dado pelo vetor velocidade. (Nota: o vetor $\vec{r}(t)$ nos dá a posição da partícula num instante de tempo t, o vetor velocidade $\vec{v}(t)$ nos dá a direção que a partícula está pretende ir nos próximos instantes.)
Primeiramente, precisamos determinar o vetor $\vec{v}$ no tempo $t=4\;s$:
$$
\vec{v}(t=4\;s)=(5+3(4)^2/2)\hat{i}+(2+2(4)^2)\hat{j} = (29\;m/s)\hat{i}+(34\;m/s)\hat{j}
\tag{9}$$
Para calcularmos o ângulo, perceba que nosso vetor velocidade já está decomposto em componentes x e y. Portanto, o vetor em si e as componentes nos eixos x e y formam um triângulo retângulo, de forma que a hipotenusa é o próprio vetor, o cateto oposto ao ângulo que estamos interessado é a componente em y e o cateto adjacente é a componente em x, portanto, temos:
$$
tg\theta = \frac{cat.\;oposto}{cat.\;adjacente} = \frac{34\;m/s}{29\;m/s}
\tag{10}$$
Então:
$$
\boxed{\theta = tg^{-1}\left(\frac{34\;m/s}{29\;m/s}\right) = 49,5^\circ}
\tag{11}$$
