Exercício 13, Capítulo 11, Fundamentos de Física Vol. 1: bola não homogênea

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular

Exercício 13:

Enunciado:

Bola não homogênea. Na Fig. 11-36, uma bola, de massa $M$ e raio $R$, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0,48 m de raio. A altura inicial da bola é $h = 0,36 \;m$. Na parte mais baixa da curva, o módulo da força normal que a pista exerce sobre a bola é $2,00Mg$. A bola é formada por uma casca esférica externa homogênea (com uma certa massa específica) e uma esfera central, também homogênea (com uma massa específica diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

Devemos determinar o valor de $\beta$. Como a bola desce a rampa suavemente, ou seja, sem deslizar, temos que a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear da bola é dado por:

$$
\omega = \frac{v}{R}
\tag{1}$$

Podemos também achar outra relação com a velocidade percebendo que no final da rampa, a bola passa por um movimento circular. Lembre a somatória das forças nesse tipo de movimento está relacionada com a aceleração centrípeta. No nosso caso, podemos escrever a soma das forças na parte mais baixa da pista, em que conhecemos a força normal, dada pelo exercício:

$$
F_N – Mg = 2Mg – Mg = Mg = M\frac{v^2}{r}
\tag{2}$$

O que nos dá uma relação entre a velocidade linear e o raio da pista circular:

$$
v = \sqrt{rg}
\tag{3}$$

Substituindo na Equação (1), temos a velocidade angular em termos do raio da bola e do raio da pista circular:

$$
\omega = \frac{\sqrt{rg}}{R}
\tag{4}$$

Por conservação de energia mecânica, podemos escrever que:

$$
U = K \Longrightarrow Mgh = \frac{I\omega^2}{2}+\frac{Mv^2}{2}
\tag{5}$$

Observe que os dois termos relacionados a energia cinética são ligados a bola. Quando temos um objeto que rola sem deslizar, nós temos um termo devido ao momento de inércia e portanto a rolagem da bola e outro termo devido a velocidade linear da bola.

Substituindo o momento de inércia dado no exercício, e as velocidades angular e linear dada pelas Equações (3) e (4), temos:

$$
Mgh = \frac{\beta MR^2(rg/R^2)}{2} + \frac{Mrg}{2} = \frac{\beta Mrg}{2} +\frac{Mrg}{2} = \frac{Mrg}{2}(\beta +1)
\tag{6}$$

Isolando $\beta$ usando o primeiro e o último termo da equação anterior, ficamos com:

$$
\beta = \frac{2h}{r}-1
\tag{7}$$

Substituindo os valores numéricos:

$$
\boxed{\beta = \frac{2(0,36\;m)}{0,48\;m}-1 = 0,5}
\tag{8}$$