Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 12
Enunciado:
Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo da fila de carros. A onda de choque pode ter o sentido do movimento dos carros, o sentido oposto, ou permanecer estacionária… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- A redução brusca de velocidade de um carro em meio ao trânsito pode se propagar como um pulso para os outros carros;
- Uma fila de carros rápidos regularmente espaçados estão se movendo a uma velocidade $v=25\;m/s$ em direção a uma fila de carros mais lentos também uniformemente espaçados;
- Esses carros mais lentos estão se movimentando a $v_1=5\;m/s$;
- Cada carro mais rápido acrescenta um comprimento de $L=12\;m$ à fila de carros mais lentos ao se juntar a fila reduzindo bruscamente a velocidade no último momento.
Item (a):
Nesse item, devemos calcular a distância $d$ entre os carros mais rápidos para que a onda de choque permaneça estacionária. A Figura 2-25 exemplifica a situação do problema. Podemos dizer, através da Figura do livro, que os carros lentos estão separados dos carros rápidos pela distância $d$. A fila de carros lentos estarão novamente nas mesmas posições depois que esses carros lentos percorrerem a distância $L$ (seria o comprimento de onda da onda de choque), o que leva um tempo de:
$$
t = \frac{L}{v_1} = \frac{12\;m}{5\;m/s} = 2,4\;s
$$
Para termos uma onde de choque estacionária, nesse mesmo tempo calculado anteriormente, os carros rápidos devem percorrer a distância que eles percorrem devido a sua velocidade ($d$) mais a distância que a fila de carros lentos percorreu ($L$). Portanto, podemos escrever que:
$$
vt = d+L
$$
No qual a distância $vt$ dada pela velocidade do carro e o tempo dado pela Equação (1) e a distância $d$ é o termo que queremos calcular. Desse modo, para termos uma onda estacionária a igualdade da Equação (2) deve ser verdade e com isso a distância $d$ deve ser:
$$
\boxed{d = vt – L = (25\;m/s)(2,4\;s) – 12\;m = 48\;m}
$$
Item (b):
Agora, o exercício nos pergunta a velocidade da onda de choque se a distância entre os carros mais rápidos seja duas vezes maior, ou seja, $2d$. Portanto, vamos supor que a separação em um certo tempo seja $d=2(48\;m)=96\;m$. Um tempo $t$ depois, o carro lento percorreu uma distância $x=v_1t$ enquanto que o carro rápido irá percorrer a distância $d+x$, ou seja, a distância que ele está dos mais lentos $d$ mais a distância que o carro lento percorreu. O percurso dos dois tipos de carro são feitos no mesmo tempo, então:
$$
t = \frac{x}{v_1} = \frac{d+x}{v} \Longrightarrow \frac{xv-xv_1}{v_1v} = \frac{d}{v} \Longrightarrow x = \frac{v_1}{v-v_1}d
$$
Substituindo os valores numéricos:
$$
x = \frac{5\;m/s}{25\;m/s-5\;m/s}(96\;m) = 24\;m
$$
O que nos dá um tempo de:
$$
t = \frac{x}{v_1} = \frac{24\;m}{5\;m/s} = 4,8\;s
$$
Para descobrir a velocidade da onda de choque, vamos focar no último carro da fila de carros lentos e no primeiro carro da fila de carros rápidos. Quando o carro rápido alcança o carro lento, ele se torna o último da fila dos carros lentos, contribuindo com mais um comprimento $L$. Portanto, a velocidade da onda de choque será:
$$
v_{choque} = \frac{x-L}{t} = \frac{24\;m-12\;m}{4,8\;s}
$$
$$
\boxed{v_{choque}=2,5\;m/s}
$$
Item (c):
Agora, vamos devemos determinar o sentido da onda de choque (na direção do movimento dos carros ou contrário a eles). Como $x>L$, o sentido da onda de choque é o sentido do movimento dos carros.
