Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 12:
Enunciado:
Suponha que Arquimedes tivesse verificado que: (i) Colocando a coroa do rei Herão dentro de uma banheira cheia de água até a borda, $0,3 \;l$ de água transbordavam; (ii) Era preciso aplicar uma força de $2,85 \; kgf$ para suspender a coroa mergulhada, retirando-a da água. Sabendo… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Na situação de equilíbrio, em que a coroa está suspensa, podemos dizer que a força $F$ aplicada somada ao empuxo $E$ é igual ao peso da coroa:
$$
F + E = m_c g
\tag{1}$$
Onde $m_c$ é a massa da coroa, e $g$ a aceleração da gravidade. Note que podemos escrever a massa da coroa como:
$$
m_c = \rho V_c
\tag{2}$$
Ou seja, que a massa é o produto da densidade $\rho$ pelo volume da coroa, $V_c$. Além disso, nós sabemos que, como a coroa está na água, o empuxo é dado por:
$$
E = \rho_{H_2O} V_c g
\tag{3}$$
Onde $V_c$ é o volume deslocado, que é também o volume da coroa.
Substituindo as equações 2 e 3 em 1, temos:
$$
F + \rho_{H_2O} V_c g = \rho V_c g
\tag{4}$$
Assim podemos obter uma expressão para a densidade $\rho$ da coroa:
$$
\rho = \frac{1}{V_c g} \left( F + \rho_{H_2O} V_c g\right)
\tag{5}$$
Substituindo os valores utilizando as unidades do Sistema Internacional (ou seja, força em $N$, aceleração em $m/s^2$, volume em $m^3$, e densidade em $kg/m^3$):
$$
\rho = \frac{1}{3\cdot10^{-4} \times 9.8} \left( 27.95 + 1000 \times 3\cdot10^{-4} \times 9.8 \right)
\tag{6}$$
O que resulta em
$$
\boxed{\rho \approx 10.506 \; kg/m^3}
\tag{7}$$
Portanto, a coroa é de prata.
