Exercício 11, Capítulo 1, Curso de Física Básica Vol. 2: densímetro

Moysés Nussenzveig

Curso de Física Básica – 4^a Edição

Capítulo 1: Estática dos Fluidos

Exercício 10:

Enunciado:

Um densímetro tem a forma indicada na Figura P.8, com uma haste cilíndrica graduada, cuja seção transversal tem área $A$, ligada a um corpo que geralmente contém algum lastro. O densímetro é calibrado mergulhando-o na água, marcando com a graduação “1” a… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item único:

Sendo a massa do densímetro dada por $m_d$ e a densidade da água por $\rho_{H_2O}$, podemos escrever a seguinte equação quando estado é de equilíbrio, isto é, o peso é equilibrado pelo empuxo:

$$
m_d g = \rho_{H_2O} V_{0} g
\tag{1}$$

Pois sabemos que nessa situação o volume deslocado é $V_0$. Isso resulta na expressão:

$$
m_d = \rho_{H_2O} V_{0}
\tag{2}$$

No caso de um líquido de densidade desconhecida, que chamaremos de $\rho$, o volume deslocado será diferente. Se o densímetro afunda ou sobe uma altura $h$ (medida a partir da superfície do líquido), o valor do volume deslocado varia de $Ah$, pois sabemos que a haste é cilíndrica de área $A$, logo o volume é dado pelo produto da altura e da área. Sendo assim, podemos escrever na situação de equilíbrio tal como fizemos na equação 1:

$$
m_d g = \rho (V_{0} – Ah) g
\tag{3}$$

Onde o termo $V_0 – Ah$ corresponde a diferença entre os volumes. Note que o sinal negativo vem do fato de que assumimos que a haste sobe, portanto o volume diminui. Além disso, se a haste descesse, o valor de $h$ seria negativo visto que ele é medido a partir da superfície do líquido, então a expressão continuaria válida. Portanto, podemos escrever:

$$
m_d = \rho (V_{0} – Ah)
\tag{4}$$

Utilizando o resultado da equação 2, podemos substituir $m_d$:

$$
\rho_{H_2O} V_{0} = \rho (V_{0} – Ah)
\tag{5}$$

Ou seja, a densidade do líquido em relação a água é dada por:

$$
\boxed{\frac{\rho}{\rho_{H_2O}} = \frac{V_0}{V_0-Ah}}
\tag{6}$$