Exercício 17, Capítulo 22, Fundamentos de Física Vol. 3: contas carregadas

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 22: Campos Elétricos

Exercício 17

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Duas contas carregadas estão no anel da Figura 22-44a do livro que possui raio $R=60\;cm$;
• A conta 2 não aparece na figura e é mantida fixa. Já a conta 1 está no eixo $x$ em $\theta=0^{\circ}$ e é deslocada para a extremidade oposta do anel $\theta=180^{\circ}$;
• A Figura 22-44b mostra a componente $x$ do campo elétrico produzido na origem do sistema de coordenadas pelas duas contas em função de $\theta$;
• A Figura 22-44c mostra a componente $y$ do campo nas mesmas condições do item acima;
• As escalas dos gráficos são $E_{xs}=5\times10^4\;N/C$ e $E_{ys}=-9\times10^4\;N/C$.

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede o ângulo $\theta$ da conta 2 que não aparece na Figura do livro. Primeiramente, perceba que, na Figura 22-44c, o campo elétrico em $y$ é negativo para $\theta=0$. Como em $\theta=0$ a conta 1 não produz campo elétrico na direção $y$, podemos afirmar que a conta 2 está em algum lugar na parte inferior do anel, ou seja, considerando a direção da medida de $\theta$ do exercício, a conta 2 está entre $180^{\circ}$ e $360^{\circ}$.

Olhando agora para o gráfico da Figura 22-44b, veja que, quando $\theta=90^{\circ}$, o campo elétrico em $x$ é zero sendo que a conta 1 está no eixo $y$, ou seja, sua contribuição para o campo em $x$ nesse ângulo será 0. Isso quer dizer que a contribuição da conta 2 também deverá ser 0 e com isso, ela também deve estar no eixo $y$.

Através das duas informações dos parágrafos anteriores, podemos concluir que o ângulo fixo da conta 2 é:

$$
\boxed{\theta=270^{\circ}} \tag{1}
$$

Item (b):

Agora, devemos determinar a carga da conta 1. Veja na Figura 22-44c que o módulo da componente $y$ do campo elétrico é máximo quando $\theta=90^{\circ}$, ou seja, quando a conta 1 está em $y$ positivo. Como vimos que a conta 2 é fixa em $y$ negativo, para o campo elétrico ser máximo nesse ponto (ou seja, o campo elétrico das contas não se cancela mesmo elas estando simétricas a origem), a carga da conta 1 deve ser positiva de modo a criar um campo que aponta para baixo a partir da origem (carga positiva tem linhas de campo saindo da carga) e a conta 2 deve ser negativa para criar um campo que, na origem, aponta também para baixo, na direção da conta 2 (carga negativa tem suas linhas de campo chegando na carga). Com isso, os dois campos se somam e daí o módulo máximo nessa configuração.

Sabendo que a conta 1 é positiva e que em $\theta=0$ não há contribuição da conta 2, o campo elétrico para esse ângulo é devido apenas a conta 1, portanto, podemos escrever para o módulo do campo elétrico que:

$$E_{xs} = \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 d^2} \Longrightarrow q_1 = 4\pi\epsilon_0R^2E_{xs} \tag{2}
$$

Onde usamos que a distância $d$ entre a carga e onde queremos calcular o campo (nesse caso, na origem) é dado pelo raio do anel. Com isso, temos:

$$q_1 = 4\pi(8,8\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)(0,6\;m)^2(5\times10^4\;N/C) \tag{3}
$$

$$\boxed{q_1 =+2\times10^{-6}\;C =+2\;\mu C} \tag{4}
$$

Item (c):

Por fim, vamos determinar a carga da conta 2. Veja que para $\theta=0$, há apenas contribuição da conta 2 para o valor absoluto de $E_y$. Portanto, podemos novamente usar que:

$$E_y = \frac{q_2}{4\pi\epsilon_0 d^2} \Longrightarrow q_2 = 4\pi\epsilon_0R^2\frac{4E_{ys}}{9} \tag{5}
$$

No qual usamos que $E_y(\theta=0)=4E_{ys}/9$ devido a escala dada no exercício. Assim, temos:

$$q_2 = 4\pi(8,8\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)(0,6\;m)^2\frac{4(9\times10^4\;N/C)}{9} \tag{6}
$$

O que resulta em:

$$\boxed{q_2 = -1,6\times10^{-6}\;C = -1,6\;\mu C} \tag{7}
$$