Exercício 16, Capítulo 22, Fundamentos de Física Vol. 3: anel de plástico

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 22: Campos Elétricos

Exercício 16

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Anel de plástico de raio $R=50\;m$. Duas contas estão no anel;
• Conta 1 tem carga $q_1=2\;\mu C$ fixa na extremidade esquerda;
• Conta 2 tem carga $q_2=6\;\mu C$ que pode ser deslocada ao longo do anel;
• As duas contas juntas produzem um campo elétrico de módulo E no centro do anel.

Item (a):

Nesse item, devemos determinar um valor positivo para o ângulo $\theta$ de modo que o campo elétrico seja dado por $E=2\times10^5\;N/C$. A Figura 22-43 do livro exemplifica o problema. O ângulo $\theta$ é o ângulo da conta 2 (que pode se mover) em relação a horizontal. Vamos, portanto, calcular o valor do campo elétrico no centro do anel em função de $\theta$. Perceba que a conta 1 é fixa, e está localizada no eixo horizontal, de modo que ela só contribuirá para a componente $x$ do campo total. Essa contribuição será positiva uma vez que $q_1$ é positiva, então as linhas de campo ‘saem’ da conta 1, apontando para $x$ positivo. Esse campo será dado por:

$$
\vec{E_1} = \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0R^2}\hat{x} \tag{1}
$$

Já para a conta 2, digamos que ela esteja na posição mostrado na figura do livro. Ela terá componentes tanto $x$ quanto $y$. Como a carga também é positiva, as linhas de campo ‘saem’ da conta, de modo que as componentes do campo elétrico apontam tanto para $x$ negativo quanto para $y$ negativo. Se a conta for para a posição horizontal, no eixo $x$, sua componente $y$ deve ser zero. Como $\sin{(R=0)}=0$, a componente $y$ do campo terá esse termo de seno enquanto que a componente $x$ terá o termo com cosseno, de modo que teremos:

$$
\vec{E_2} = -\frac{q_2\cos\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\hat{x}-\frac{q_2\sin\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\hat{y} \tag{2}$$

Com isso, o vetor campo elétrico total será:

$$\vec{E} = \left(\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0R^2}-\frac{q_2\cos\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\right)\hat{x} -\frac{q_2\sin\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\hat{y}\tag{3}
$$

O módulo desse campo total será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes e isso tem que ser igual ao valor de $E$ dado pelo exercício:

$$|\vec{E}| = \sqrt{\left(\frac{q_1-q_2\cos\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\right)^2+\left(-\frac{q_2\sin\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}\right)^2} = \sqrt{\frac{q_1^2+q_2^2-2q_1q_2\cos\theta}{(4\pi\epsilon_0R^2)^2}}\tag{4}
$$

Podemos elevar os dois lados ao quadrado para não precisarmos trabalhar com raiz e já igualando com o campo elétrico que o exercício nos pede:

$$E^2 = \frac{q_1^2+q_2^2-2q_1q_2\cos\theta}{(4\pi\epsilon_0R^2)^2} \tag{5}
$$

Como queremos o valor do ângulo para termos esse campo elétrico, vamos isolar o ângulo da expressão acima:

$$\theta = \cos^{-1}\left[\frac{q_1^2+q_2^2-(4\pi\epsilon_0R^2)E^2}{2q_1q_2}\right] \tag{6}
$$

Vamos substituir os valores numéricos:

$$\theta = \cos^{-1}\left[\frac{(2\;\mu C)^2+(6\;\mu C)^2-[4\pi(8,8\times10^{-12}\;C^2N^{-1}m^{-2})(0,5\;m^2)]^2(2\times10^5\;N/C)^2}{2(2\;\mu C)(6\;\mu C)}\right] \tag{7}
$$

$$\theta = \cos^{-1}\left[\frac{9,4\times10^{-12}}{2,4\times10^{-11}}\right] = \cos^{-1}0,39 \tag{8}
$$

O valor positivo para o ângulo, resulta portanto em:

$$\boxed{\theta = 67^{\circ}} \tag{9}
$$

Item (b):

Agora, o exercício nos pede o valor negativo do ângulo. Veja que o cosseno do negativo do mesmo ângulo do item (a) também resulta em 0,39. Portanto, temos que o valor negativo do ângulo que resulta no campo elétrico dado pelo exercício no centro do anel é:

$$
\boxed{\theta = -67^{\circ}} \tag{10}
$$